tason ja avaruuden vektorit
a) Ilmaise vektorit \(\overline{a}\) ja \(\overline{b}\)kantavektoreiden \(\overline{i}\) ja \(\overline{j}\) avulla.
b) Laske vektoreiden \(\overline{a}\) ja \(\overline{b}\) pituus.
Ratkaisu a-kohtaan
\(\overline{a}=4\overline{i}-\overline{j}\) (+1,5p)
\(\overline{b}=-3\overline{i}-2\overline{j}\) (+1,5p)
Ratkaisu b-kohtaan
Pythagoraan lausetta käyttämällä saadaan laskettua vektoreiden pituudet.
\(|\overline{a}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}\) (+1,5p)
\(|\overline{b}|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}\) (+1,5p)
Piste P jakaa janan AB suhteessa 1:4.
Piste A on (-1,5) ja piste B on (4,3).
Määritä pisteen P koordinaatit.
Piirretään kuva tilanteesta
(voit liikutella pisteitä A, B ja O)
1. Pisteiden A ja B paikkavektorit
\(\overline{OA}=-\overline{i}+5\overline{j} \\ \overline{OB}=4\overline{i}+3\overline{j}\)
(+0.5p)
2. Kuvasta huomataan, että
\(\overline{OP}=\overline{OA}+\overline{AP}\)
(+0.5p)
3. Koska piste P jakaa janan AB suhteessa 1:4 (osia yhteensä 1+4=5), niin tiedämme, että
\(AP=\dfrac{1}{5}AB\) eli
\(\overline{AP}=\dfrac{1}{5}\overline{AB}\).
(+1p)
4. Kuvasta huomataan, että
\(\overline{AB}=\overline{AO}+\overline{OB} \\ \overline{AB}=-\overline{OA}+\overline{OB}\)
(+1p)
5. Ratkaistaan vektori \(\overline{AP}\).
\(\overline{AP}=\dfrac{1}{5}\overline{AB} \\ \overline{AP}=\dfrac{1}{5}\Big(-\overline{OA}+\overline{OB} \Big) \\ \overline{AP}=-\dfrac{1}{5}\overline{OA}+\dfrac{1}{5}\overline{OB}\)
(+1p)
6. Ratkaistaan vektori \(\overline{OP}\)
\(\overline{OP}=\overline{OA}+\overline{AP} \\ \overline{OP}=\overline{OA}-\dfrac{1}{5}\overline{OA}+\dfrac{1}{5}\overline{OB} \\ \overline{OP}=\dfrac{4}{5}\overline{OA}+\dfrac{1}{5}\overline{OB} \\ \overline{OP}=\dfrac{4}{5}\Big( -\overline{i}+5\overline{j}\Big)+\dfrac{1}{5}\Big(4\overline{i}+3\overline{j} \Big) \\ \overline{OP}=-\dfrac{4}{5}\overline{i}+4\overline{j}+\dfrac{4}{5}\overline{i}+\dfrac{3}{5}\overline{j} \\ \overline{OP}=\dfrac{23}{5}\overline{j}\)
(+1p)
Vastaus: Piste P on (0, 4.6) (+1p)
a) Määritä pisteen A=(1, -5, 2) paikkavektori.
b) Laske vektorin \(\overline{OA}\) pituus.
c) Kuinka kaukana piste A on z-akselista?
Ratkaisu a-kohtaan.
Pisteen A paikkavektori on
\(\overline{OA}=\overline{i}-5\overline{j}+2\overline{k}\) (+2p)
Ratkaisu b-kohtaan
Vektorin pituus on
\(|\overline{OA}|=\sqrt{1^2+(-5)^2+2^2}=\sqrt{30}\) (+2p)
Ratkaisu c-kohtaan
Pisteen A etäisyys z-akselista saadaan ratkaistua Pythagoraan lauseella.
\(d=\sqrt{1^2+(-5)^2}=\sqrt{26}\) (+2p)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: