(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=a^x$ kuvaajan muotoa kantaluvun $a$ eri lukuarvoilla (kun $a>0$).
a) Kuvaile sanallisesti, miten kantaluvun $a$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon.
b) Määritä graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) funktion $f(x)=2^x$ arvo kohdassa $x=2$.
c) Määritä graafisesti $f(-1)$, kun $f(x)=0,\!5^x$.
d) Ratkaise graafisesti yhtälö $3^x=2$.
e) Ratkaise graafisesti yhtälö $0,\!7^x=0,5$.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
a)
- Eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteen $(0,1)$ kautta riippumatta kantaluvun arvosta, sillä $f(0)=a^0=1$.
- Kun $a>1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot kasvavat muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Kun $0<a<1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot pienenevät muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=2^x$ arvo \(f(x)=\underline{\underline{\ 4\ }}\), kun $x=2$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktiolle $f(x)=0,\!5^x$ pätee \(f(-1)=\underline{\underline{\ 2\ }}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
d) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $3^x=2$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{0,6}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
e) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $0,\!7^x=0,\!5$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{\ 2\ }}\) (hyväksytään ratkaisut väliltä $[1,\!8;2,\!2]$). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Erään MMORPG:in (=Massively Multiplayer Online Role-playing Game) pelaajamäärät ovat joka kuukaisi 1,2-kertaistuneet.
Pelillä on nyt 15 000 aktiivista pelaajaa. Muodosta funktio ja laske
a) mikä on pelaajien määrä kolmen kuukauden kuluttua?
b) mikä on pelaajien määrä 2 vuoden kuluttua, jos pelaajamäärien kasvu jatkuu samalla tavalla?
Ratkaisu a-kohtaan
Pelaajien lukumäärä 1,2-kertaistuu joka kuukausi.
Pelaajien lukumäärää kuvaa funktio \(f(x)=1,2^x \cdot 15 \ 000\)
Pelaajien lukumäärä kolmen kuukauden kuluttua on
\(f(3)= 1,2^3 \cdot 15 \ 000\approx 26 \ 000\)(+2p)
Vastaus: noin 26 000 pelaajaa. (+1p)
Ratkaisu b-kohtaan
Kahdessa vuodessa on kuukausia 24 kpl.
Pelaajien lukumäärä 2 vuoden kuluttua on
\(f(24)=1,2^{24}\cdot 15 \ 000 \approx 1 \ 200 \ 000\) (+2p)
Vastaus: noin 1 200 000 pelaajaa (+1p)
Eräästä radioaktiivisesta aineesta hajoaa tunnissa 4,5 %. Aineen määrä nyt on 200 g.
Kuinka paljon ainetta on
a) 2 tunnin kuluttua?
b) 4 tunnin ja 45 min kuluttua?
Muodosta funktio, joka kuvaa aineen määrää ajan kuluessa.
100 % - 4,5 % = 95,5 %
95,5 % = 0,955
Aineen määrä muuttuu tunnissa 0,955-kertaiseksi.
Aineen määrä nyt on 200 grammaa.
Radioaktiivisen aineen määrää x tunnin kuluttua kuvaa funktio
\(f(x)=200 \cdot 0,955^x\) (+2p)
Lasketaan aineen määrä 2 tunnin kuluttua.
\(f(2)=200\cdot 0,955 ^2\approx 180\) (+1p)
Vastaus: noin 180 grammaa. (+1p)
Lasketaan aineen määrä 4 tunnin ja 45 minuutin kuluttua.
4 h + 45 min = 2 h + 0,75 h = 2,75 h
\(f(4,75)=200\cdot 0,955 ^{4,75}\approx 160\) (+1p)
Vastaus: noin 160 grammaa. (+1p)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: