a) Laske lausekkeen \(x^2-1\) arvo, kun \(x=3\).
b) Laske lausekkeen \(x^2-1\) arvo, kun \(x=-3\).
c) Päättele mitkä luvut sopivat sulkujen sisälle: \(\Big(\boxed{\phantom{X}}\Big)^2-1=8\).
d) Ratkaise yhtälö \(x^2-1=8\).
e) Päättele mitkä luvut sopivat sulkujen sisälle: \(\Big(\boxed{\phantom{X}}\Big)^2=25\).
f) Ratkaise yhtälö \(x^2-3=22\).
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a)}\qquad &x^2-1 \quad || x = 3 \\ =\ &3^2-1 \\ =&9-1\\ =\ &\underline{\underline{8}} \qquad \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{b)}\qquad &x^2-1 \quad || x = -3 \\ =\ &(-3)^2-1 \\ =&9-1\\ =\ &\underline{\underline{8}} \qquad \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{c) } &( \ )^2-1=8 \\ &\underline{\underline{(3) }}^2-1=8 \text{ ja } (\underline{\underline{-3}})^2-1=8 \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{d) } x^2-1&=8 \ \ \ \qquad || +1 \\ x^2&=9 \\ x&= \pm 3 \end{align*}\)
Vastaus: \(x=3\) tai \(x=-3\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{e) } &( \ )^2=25 \\ &\underline{\underline{(5) }}^2=25 \text{ ja } (\underline{\underline{-5}})^2=25 \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{f) } x^2-3&=22 \ \ \ \qquad || +3 \\ x^2&=25 \\ x&= \pm 5 \end{align*}\)
Vastaus: \(x=5\) tai \(x=-5\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaise yhtälö
a) \(x^2+5x=0\)
b) \(2x^2=8x\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a)}\qquad x^2+5x&=0 \\ x\cdot x +5 \cdot x&=0 \\ x(x+5)&=0 &&||\text{ TNS = tulon nollasääntö} \\ & &&\color{red}{\text{(+1p TNS tai ratkaisukaava)}}\\ x=0 \text{ tai } &x+5=0 &&\color{red}{\text{(+1p)}} \\ x=0 \text{ tai } &x=-5 \end{align*}\)
Vastaus: \(x=0\) tai \(x=-5\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{b)}\qquad\qquad 2x^2&=8x &&||\color{blue}-8x \\ 2x^2\color{blue}-8x&=8x\color{blue}-8x \\ 2x^2-8x&=0 \\ x \cdot 2x - 8 \cdot x&=0 \\ x(2x-8)&=0 &&||\text{ TNS} \\ & &&\color{red}{\text{(+1p TNS tai ratkaisukaava)}}\\ x=0 \text{ tai } &2x-8=0 && \color{red}{\text{(+1p)}}\\ x=0 \text{ tai } &2x=8 \\ x=0 \text{ tai } &x=4 \end{align*}\)
Vastaus: \(x=0\) tai \(x=4\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaise yhtälö
a) \(x^2+6x+8=0\)
b) \(3x^2-2x=1\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a) }\ &x^2+6x+8=0 & &\Big|\Big|x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & && \Big|\Big| a=1, b=6, c=8 \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} x&=\dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 -4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \qquad \color{red} \text{(+1p)} \\ x&=\dfrac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} \\ x&=\dfrac{-6 \pm 2}{2} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \ \color{red} \text{(+1p)}\\ x&=\underline{\underline{-2}} \text{ tai } x=\underline{\underline{-4}} \qquad \ \ \qquad \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{b) }3x^2&-2x=1 &&|| -1 \\ 3x^2&-2x-1=0 &&\Big|\Big|x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \ & &&\Big|\Big|a=3, b=-2, c=-1 \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} x&=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} && \color{red} \text{(+1p)} \\ x&=\dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{6} \\ x&=\dfrac{2 \pm 4}{6} && \color{red} \text{(+1p)}\\ x&=\dfrac{6}{6}=\underline{\underline{\ 1\ }} \text{ tai } x=\dfrac{-2}{6}=\underline{\underline{-\dfrac{1}{3}}} && \color{red} \text{(+1p)} \end{align*}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: