Vektorit ja xyz-koordinaatisto

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivustolla olevan Vektorit-kurssin toisen luvun itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Olkoon pisteet $A=(1,2,4)$ ja $B=(-1,3,0)$.

a) Muodosta vektori $\overline{AB}$.

b) Laske vektorin $\overline{AB}$ pituus. 

c) Muodosta vektori $\overline{v}$, joka on vastakkaissuuntainen vektorin $\overline{AB}$ kanssa ja jonka pituus on kaksinkertainen vektorin $\overline{AB}$ pituuteen nähden.

Pisteytysohje: 

a) $\overline{AB}=(-1-1)\overline{i}+(3-2)\overline{j}+(0-4)\overline{k}$, (1 p.)

josta sieventämällä saadaan $\overline{AB}=-2\overline{i}+\overline{j}-4\overline{k}$. (1 p.)

b) $|\overline{v}|=\sqrt{(-2)^2+1^2+(-4)^2}=\sqrt{21}$. (2 p.)

c) Vektori $\overline{v}$ on muotoa $t\cdot \overline{AB}$, missä $t<0$, koska vektorit ovat vastakkaissuuntaisia. (1 p.) (Voit myös suoraan päätellä $t=-2$.)

Koska vektorin $\overline{v}$ pituus on kaksinkertainen vektorin $\overline{AB}$ pituuteen nähden, on $t=-2$. Siis $\overline{v}=-2\overline{AB}=-2\cdot(-2\overline{i}+\overline{j}-4\overline{k})=4\overline{i}-2\overline{j}+8\overline{k}$. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

a) Olkoon vektorit $\overline{v}=a\overline{i}-4a\overline{j}-2\overline{k}$ ja $\overline{w}=2a\overline{i}+\overline{j}-\overline{k}$. Määritä vakio $a$ siten, että vektorit $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

b) Olkoon kolmion $ABC$ sivuvektorit $\overline{AB}=3\overline{i}+\overline{j}-\overline{k}$ ja $\overline{AC}=-2\overline{i}+3\overline{j}-3\overline{k}$. Määritä kolmion kolmannen sivun vektori $\overline{BC}$ laske kulman $\angle{CBA}$ suuruus asteen tarkkuudella.

Pisteytysohje: 

a) Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos ja vain jos niiden pistetulo on nolla. Saadaan yhtälö

$\overline{v}\cdot \overline{w}=0$ eli $(a\overline{i}-4a\overline{j}-2\overline{k})\cdot (2a\overline{i}+\overline{j}-\overline{k})=0$ (1 p.)

Laskemalla pistetulo saadaan $a\cdot2a-4a\cdot1-2\cdot(-1)=0$, josta sieventämällä saadaan $2a^2-4a+2=0$. (1 p.)

Jakamalla yhtälö puolittain kahdella saadaan $a^2-2a+1=0$, josta joko muistikaavalla tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan $a=1$. (1 p.)

b) Hahmotellaan mallikuva.

Kuvasta nähdään, että $\overline{BC}=\overline{BA}+\overline{AC}=-\overline{AB}+\overline{AC}$, johon sijoittamalla vektorit $\overline{AB}=3\overline{i}+\overline{j}-\overline{k}$ ja $\overline{AC}=-2\overline{i}+3\overline{j}-3\overline{k}$ saadaan $\overline{BC}=-(3\overline{i}+\overline{j}-\overline{k})+(-2\overline{i}+3\overline{j}-3\overline{k})=-3\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}-2\overline{i}+3\overline{j}-3\overline{k}=(-3-2)\overline{i}+(-1+3)\overline{j}+(1-3)\overline{k}=-5\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k}.$ (1 p.)

Mallikuvasta huomataan, että kulma $\angle{CBA}$ on vektoreiden $\overline{BC}$ ja $\overline{BA}=-\overline{AB}$ välinen kulma. Lasketaan vektoreiden pituudet ja pistetulo. 

$|BC|=\sqrt{(-5)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{33}$ ja $|\overline{BA}|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{11}$. Pistetuloksi saadaan $\overline{BC}\cdot\overline{BA}=-5\cdot (-3)+2\cdot (-1)-2\cdot 1=15-2-2=11$.

Vektoreiden välinen kulma on $\cos (\angle {BCA})=\dfrac{\overline{BC}\cdot \overline{BA}}{|\overline{BC}||\overline{BA}|}$, johon sijoittamalla saadaan 

$$\cos (\angle{CBA})=\dfrac{11}{\sqrt{33}\sqrt{11}}=0,577\ldots, \ (1 \ \text{p.})$$ josta laskimella saadaan $$\angle{CBA}=54,7\ldots^{\circ}\approx55^{\circ}. \text{ (1 p.)}$$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Tutki, ovatko vektorit $\overline{v}=4\overline{i}+2\overline{j}-3\overline{k}$ ja $\overline{w}=2\overline{i}+\overline{j}-6\overline{k}$ yhdensuuntaiset. Myönteisessä tapauksessa määritä, ovatko vektorit saman- vai vastakkaissuuntaiset.

Pisteytysohje: 

Vektorit ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos yhtälö $\overline{v}=t\overline{w}$ on tosi jollain $t\neq 0$. (1 p.)

Saadaan yhtälö $4\overline{i}+2\overline{j}-3\overline{k}=t(2\overline{i}+\overline{j}-6\overline{k})$, eli $4\overline{i}+2\overline{j}-3\overline{k}=2t\overline{i}+t\overline{j}-6t\overline{k}$. (1 p.)

Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan vektorit ovat samat, jos ja vain jos vektoreiden $\overline{i}, \overline{j}$ ja $\overline{k}$ kertoimet ovat yhtä suuret. Saadaan yhtälöryhmä 

\(\left\{ \begin{aligned} 4&=2t\\ 2&=t\\ -3&=-6t, \end{aligned} \right. \)

(1 p.)

josta sijoittamalla keskimmäisen yhtälön tieto $t=2$ ylimpään yhtälöön $4=2t$ saadaan $4=2\cdot2$ eli $4=4$. Ylin yhtälö siis toteutuu vakion $t$ arvolla $t=2$. (1 p.)

Sijoitetaan vielä $t=2$ alimpaan yhtälöön ja tutkitaan, onko yhtälöryhmällä ratkaisua $t=2$.

$-3=-6\cdot2$ eli $-3=-12$ epätosi. (1 p.) 

Yhtälöryhmällä ei siis ole olemassa ratkaisua, eli vektorit $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ eivät ole yhdensuuntaiset. (1 p.)

Huom. Voit myös ratkaista $t$:n jokaiselta yhtälöryhmän riviltä ja näin todeta, että yksikäsitteistä $t$:n arvoa ei ole olemassa.

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: