Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivustolla olevan Vektorit-kurssin kolmannen luvun itsearviointiin.
Suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\overline{OP}=\overline{i}+3\overline{j}+t(2\overline{i}-\overline{j})$.
a) Määritä suoralta $L$ kolme pistettä. (2 p.)
b) Muodosta suoran normaalimuotoinen yhtälö. (4 p.)
a) Koska yleisesti suoran vektorimuotoinen parametriesitys on muotoa $\overline{OP}=\overline{OA}+t\overline{v}$, missä $\overline{OA}$ on jonkin suoran pisteen paikkavektori, niin tehtävänannon parametriesityksessä $\overline{OP}=\overline{i}+3\overline{j}+t(2\overline{i}-\overline{j})$ erään suoran pisteen paikkavektori on $\overline{OA}=\overline{i}+3\overline{j}$ ja eräs piste on tällöin $A=(1,3)$ (1 p.). Tätä pistettä vastaa parametrin $t$ arvo $t=0$. Muita suoran pisteitä saadaan, kun annetaan parametrille $t$ eri arvoja.
Esimerkiksi parametrin $t$ arvolla $t=1$ saadaan $\overline{OP}=\overline{i}+3\overline{j}+1(2\overline{i}-\overline{j})=(1+2)\overline{i}+(3-1)\overline{j}=3\overline{i}+2\overline{j}$, eli eräs suoran piste on $(3,2)$. Samaan tapaan esimerkiksi parametrin $t$ arvolla $t=-1$ saadaan $\overline{OP}=\overline{i}+3\overline{j}-1(2\overline{i}-\overline{j})=\overline{i}+3\overline{j}-2\overline{i}+\overline{j}=(1-2)\overline{i}+(3+1)\overline{j}=-\overline{i}+4\overline{j}$. Siis eräs suoran piste on $(-1,4)$. (1 p.)
Vastaus: Suoralla $L$ ovat esimerkiksi pisteet $(1,3), (3,2)$ ja $(-1,4)$.
b) Normaalimuotoiseen yhtälöön tarvitaan suoran jokin normaalivektori. Normaalivektorin voi hyvin keksiä esimerkiksi kuvan avulla ja näyttää pistetulon avulla, että se todella on suoran normaalivektori. Toinen tapa on etsiä normaalivektori yhtälön avulla. Merkitään suoran normaalivektoria $\overline{n}=a\overline{i}+b\overline{j}$. Normaalivektori ja suoran suuntavektori ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten niiden pistetulo on nolla. Saadaan yhtälö $$\overline{v}\cdot \overline{n}=0,$$ johon sijoittamalla vektorien $\overline{v}=2\overline{i}-2\overline{j}$ ja $\overline{n}=a\overline{i}+b\overline{j}$ lausekkeet saadaan $$(2\overline{i}-\overline{j})\cdot (a\overline{i}+b\overline{j})=0.$$ Laskemalla pistetulo saadaan $$2a-b=0.$$ Koska riittää löytää jokin normaalivektori, voidaan antaa jommallekummalle tuntemattomalle $a$ tai $b$ jokin lukuarvo, esimerkiksi $a=1$, ja sijoittamalla tämä yhtälöön saadaan $$2\cdot 1-b=0.$$ Ratkaisemalla tästä $b$ saadaan $$b=2.$$ Siis suoran eräs normaalivektori on $\overline{i}+2\overline{j}$, joka näyttää järkevältä piirrettäessä normaalivektori kuvaan (kuva lopussa). (2 p.) (Normaalivektorista 1 p. ja perustelusta, että se on normaalivektori 1 p.)
Piste $P=(x,y)$ on suoralla $L$, jos ja vain jos vektori $\overline{AP}$ (voisi olla myös $\overline{BP}$) on kohtisuorassa normaalivektoria $\overline{n}$ vastaan. Muodostetaan vektori $\overline{AP}$ ja muodostetaan normaalimuotoinen yhtälö ehdosta $\overline{AP}\cdot \overline{n}=0$ (1 p.).
$\overline{AP}=(x-1)\overline{i}+(y-3)\overline{j}$. Sijoitetaan tämä ja $\overline{n}=\overline{i}+2\overline{j}$ yllä olevaan yhtälöön ja sievennetään se. Saadaan
$$((x-1)\overline{i}+(y-3)\overline{j})\cdot (\overline{i}+2\overline{j})=0$$
$$(x-1)\cdot1+(y-3)\cdot 2=0$$
$$x-1+2y-6=0$$
$$x+2y-7=0. \text{ (1 p.)}$$
Lopuksi vielä kuva koko tilanteesta, jolla voi helposti tarkistaa a)-kohdan pisteiden koordinaatit (voi myös olla ratkaisun alussa):
Suora $L_1$ kulkee pisteiden $(1,0,2)$ ja $(2,1,3)$ kautta. Suoran $L_2$ vektorimuotoinen koordinaattiesitys on $\overline{OP}=3\overline{j}-\overline{k}+t(\overline{i}-\overline{j}+2\overline{k})$.
a) Tutki, leikkaavatko suorat $L_1$ ja $L_2$. Myönteisessä tapauksessa määritä leikkauspisteen koordinaatit. (4 p.)
b) Laske suorien $L_1$ ja $L_2$ välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. (2 p.)
a) Hahmotellaan ensin mallikuva, mitä tarkoittaa, että suorat leikkaisivat.
Jotta suorat leikkaisivat, niin leikkauspisteen $P=(x,y,z)$ koordinaatit tulisi toteuttaa kummankin suoran yhtälöt. Muodostetaan suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys ja merkitään suorien parametriesitykset yhtä suuriksi.
Nimetään suoran $L_1$ pisteet $A=(1,0,2)$ ja $B=(2,1,3)$. Valitaan suoran paikkavektoriksi $\overline{OA}=\overline{i}+2\overline{k}$ ja suuntavektoriksi $\overline{AB}=(2-1)\overline{i}+(1-0)\overline{j}+(3-2)\overline{k}=\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}$. Suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys on $$\overline{OP}=\overline{i}+2\overline{k}+s(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}). $$ Tutkitaan, onko yhtälöllä $\overline{i}+2\overline{k}+s(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k})=3\overline{j}-\overline{k}+t(\overline{i}-\overline{j}+2\overline{k})$ ratkaisua. Sievennetään yhtälön kummatkin puolet niin, että nähdään vektoreiden $\overline{i}, \overline{j}$ ja $\overline{k}$ kertoimet. Saadaan $$(1+s)\overline{i}+s\overline{j}+(2+s)\overline{k}=t\overline{i}+(3-t)\overline{j}+(-1+2t)\overline{k}. \text{ (1 p.)}$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\overline{i}, \overline{j}$ ja $\overline{k}$ avulla eli
\( \begin{cases}1+s&=t\\ s&=3-t\\ 2+s&=-1+2t. \end{cases}\)
Sijoitetaan ylimmän yhtälön tieto $t=1+s$ seuraavaan yhtälöön. Saadaan $s=3-(1+s)$, eli $s=3-1-s$, josta $s=1$. Sijoitetaan $s=1$ yhtälöön $t=1+s$ ja ratkaistaan $t$. Saadaan $t=1+1=2$. Yhtälöryhmän ainoa mahdollinen ratkaisu on siis $s=1$ ja $t=2$. (1 p.) Sijoitetaan nämä vielä jokaiseen yhtälöryhmän yhtälöön ja varmistetaan, toteutuvatko kaikki yhtälöt kyseisillä lukuarvoilla. Saadaan
\(\begin{cases}1+1&=2\\ 1&=3-2=1\\ 2+1&=3=-1+2\cdot2. \end{cases}\)
Kaikki yhtälöt toteutuivat parametrien arvoilla $s=1$ ja $t=2$, joten leikkauspiste on olemassa (1 p.) ja sen koordinaatit ovat
\(\begin{cases}x&=2\\ y&=1\\ z&=3. \end{cases}\)
Vastaus: Leikkauspiste on $(2,1,3)$. (1 p.)
b) Suorien välinen kulma saadaan suorien suuntavektorien avulla. Merkitään suoran $L_1$ suuntavektorita $v_1=\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}$ ja suoran $L_2$ suuntavektoria $v_2=\overline{i}-\overline{j}+2\overline{k}$. Lasketaan näiden välinen kulma kaavalla $$\cos (\angle{\overline{v_1},\overline{v_2}})=\dfrac{\overline{v_1}\cdot \overline{v_2}}{|\overline{v_1}||\overline{v_2}|}.$$ Lasketaan ensin pistetulo ja vektorin pituudet ja sijoitetaan ne sitten kaavaan. $$\overline{v_1}\cdot \overline{v_2}=(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k})\cdot(\overline{i}-\overline{j}+2\overline{k})=1\cdot 1+1\cdot(-1)+1\cdot 2=1-1+2=2$$
$$|\overline{v_1}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$$
$$|\overline{v_2}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}. \text{ (1 p.)}$$
Sijoittamalla kaavaan saadaan $$\cos (\angle{\overline{v_1},\overline{v_2}})=\dfrac{2}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}=0{,}47\ldots,$$ josta laskimella saadaan $$\angle{(\overline{v_1},\overline{v_2})}=61{,}87\ldots^{\circ}\approx 61{,}9^{\circ}.$$
Koska suuntavektorien välinen kulma on terävä, eli alle 90 astetta, niin se on samalla suorien välinen kulma.
Vastaus: a) Suorat $L_1$ ja $L_2$ leikkaavat ja suorien leikkauspiste on $(1,2,4)$. b) Suorien välinen kulma on $61{,}9$ astetta (1 p.).
Tasossa $T$ ovat pisteet $A=(1,0,2), B=(-1,2,1)$ ja $C=(5,-1,0)$.
a) Muodosta tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys.
b) Muodosta tason $T$ koordinaattimuotoinen parametriesitys.
c) Tutki, onko piste $R=(1,2,3)$ tasossa $T$.
a) Muodostetaan tason vektorimuotoinen parametriesitys. Valitaan tason paikkavektoriksi $\overline{OA}=\overline{i}+2\overline{k}$ ja tason suuntavektoreiksi vektorit $\overline{AB}=(-1-1)\overline{i}+(2-0)\overline{j}+(1-2)\overline{k}=-2\overline{i}+2\overline{j}-\overline{k}$ ja $\overline{AC}=(5-1)\overline{i}+(-1-0)\overline{j}+(0-2)\overline{k}=4\overline{i}-\overline{j}-2\overline{k}$. (1 p.)
Näin ollen tason vektorimuotoinen parametriesitys on $$\overline{OP}=\overline{OA}+r\overline{AB}+s\overline{AC},$$ johon sijoittamalla saadaan $$\overline{OP}=\overline{i}+2\overline{k}+r(-2\overline{i}+2\overline{j}-\overline{k})+s(4\overline{i}-\overline{j}-2\overline{k}). \text{ (1 p.)}$$
b) Merkitään pistettä $P=(x,y,z)$. Muodostetaan tämän paikkavektori ja sievennetään vektorimuotoisen parametriesityksen oikeaa puolta. Saadaan $$x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}=(1-2r+4s)\overline{i}+(2r-s)\overline{j}+(2-r-2s)\overline{k}. \text{ (1 p.)}$$ Vektorit ovat samat, jos vain ja jos vektoreiden $\overline{i},\overline{j}$ ja $\overline{k}$ kertoimet ovat yhtälön kummallakin puolella yhtä suuret. Saadaan yhtälöryhmä
\(\begin{cases} x&=1-2r+4s\\ y&=2r-s\\ z&=2-r-2s.\text{ (1 p.)} \end{cases}\)
c) Tutkitaan, toteuttavatko pisteen $R=(1,2,3)$ koordinaatit b)-kohdan yhtälöryhmän. Saadaan
\(\begin{cases}1&=1-2r+4s\\ 2&=2r-s\\ 3&=2-r-2s. \end{cases}\)
Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä $r$ ja sijoitetaan saatu lauseke kahteen alempaan yhtälöön. Saadaan $2r=4s$, josta $r=2s$. Sijoittamalla tämä alempaan yhtälöön saadaan yhtälöt $2=2(2s)-s$, eli $3s=2$. Ratkaistaan yhtälöstä $3s=2$ $s$ ja sijoitetaan saatu $s$ yhtälöön r=2s. Yhtälöstä $3s=2$ saadaan $s=\frac{2}{3}$, joten $r=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$. Siis yhtälöryhmän ainoa mahdollinen ratkaisu on $r=\frac{4}{3}$ ja $s=\frac{2}{3}$ (1 p.). Tarkistetaan vielä, onko tämä yhtälöryhmän ratkaisu, eli sijoitetaan saadut arvot $r=\frac{4}{3}$ ja $s=\frac{2}{3}$ jokaiseen alkuperäiseen yhtälöön ja tutkitaan, toteutuvatko yhtälöt. Saadaan
\(\begin{cases} 1-2\cdot\frac{4}{3}+4\cdot\frac{2}{3}=1-\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=1\\ 2\cdot\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2\\ 2-\frac{4}{3}-2\cdot\frac{2}{3}=2-\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}\neq3. \end{cases}\)
Koska viimeinen yhtälö ei toteutunut, niin piste $R$ ei ole tasossa $T$. (1 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: