Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi-sivun Lukujonot ja summat -luvun itsearviointiin.
Aritmeettinen lukujono alkaa $3,7,11$.
a) Määritä jonon differenssi. (1 p.)
b) Määritä jonon yleinen jäsen. (2 p.)
c) Tutki jonon yleisen jäsenen avulla, onko luku 25 jonon jäsen. (3 p.)
a) Differenssi on peräkkäisten jäsenten erotus, eli esimerkiksi $7-3=4$. (1 p.)
b) Aritmeettisen jonon yleinen jäsen saadaan kaavalla $$a_n=a_1+(n-1)d,$$ missä $a_1$ on jonon ensimmäinen jäsen ja $d$ on differenssi. Tässä tehtävässä on $a_1=3$ ja $d=4$. Sijoittamalla nämä kaavaan saadaan $$a_n=3+(n-1)4,$$ (1 p.)
josta sieventemällä saadaan $$a_n=3+4n-4=4n-1.$$ (1 p.)
c) Luku $25$ on lukujonon jäsen, jos yhtälöllä $a_n=25$ on positiivinen kokonaislukuratkaisu. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se.
\(\begin{align} a_n&=25\\ 4n-1&=25 \text{ (1 p.)}\\ 4n&=26\\ n&=\dfrac{26}{4}=6{,}5 \text{ (1 p.)} \end{align}\)
joka ei ole positiivinen kokonaisluku. Siis luku $25$ ei ole lukujonon jäsen. (1 p.)
Aritmeettisen jonon yleinen jäsen on $a_n=5n-3$ ja geometrisen jonon on $b_n=2\cdot 3^{n-1}$.
a) Määritä jonojen 7. jäsenet. (2 p.)
b) Laske jonojen 13 ensimmäisen jäsenen summa. (4 p.)
a) Aritmeettisen jonon seitsemäs jäsen on $a_7=5\cdot7-3=32.$ (1 p.)
Geometrisen jonon seitsemäs jäsen on $b_7=2\cdot 3^{7-1}=2\cdot 3^6=1458.$ (1 p.)
b) Aritmeettisen summan kaava on $S_n=n\dfrac{a_1+a_n}{2}$, eli jotta summa voidaan laskea, niin tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ sekä viimeinen yhteenlaskettava, eli $a_{13}$. Saadaan $$a_1=5\cdot 1-3=2$$ ja $$a_{13}=5\cdot 13-3=62. $$ (1 p.)
Summaksi saadaan $$S_{13}=13\cdot\dfrac{2+62}{2}=416. $$ (1 p.)
Geometrisen summan kaava on $S_n=a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$, joten summa voidaan laskea, kun tiedetään suhdeluku $q$ sekä jonon ensimmäinen jäsen. Suhdeluku nähdään suoraan yleisen jäsenen lausekkeesta, eli $q=3$, samoin kuin ensimmäinen jäsen: $a_1=2$. (1 p.) Summaksi tällöin saadaan $$S_{13}=2\cdot \dfrac{1-3^{13}}{1-3}=1594322. $$ (1 p.)
Tarkastellaan lukujonoa $(a_n)$, joka alkaa $4, 20, 100.$
a) Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua edellisen jäsenen $a_{n-1}$ avulla, eli toisin sanoen määritä lukujono $(a_n)$ rekursiivisesti.
b) Määritä rekursiivisen jonon säännöllä $a_4$ ja $a_5$ välivaiheet esittäen.
c) Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua järjestysnumeron $n$ avulla, eli toisin sanoen määritä lukujono $(a_n)$ analyyttisesti.
a) Seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellistä luvulla 5. (1 p.)
Näin ollen lukujono voidaan määritellä rekursiivisesti seuraavasti:
\(\begin{cases} a_1&=4\\ a_n&=5\cdot a_{n-1}, \text{ kun } n\geq2 \text{ (1 p.)} \end{cases}\)
b) $$a_4=5\cdot a_3=5\cdot100=500 $$ (1 p.) ja $$a_5=5\cdot a_4=5\cdot 500=2500. $$ (1 p.)
c) Koska seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellistä samalla luvulla, niin kyseessä on geometrinen lukujono, jossa $a_1=4$ ja $q=5$. (1 p.)
Yleinen jäsen on tällöin $$a_n=4\cdot 5^{n-1}. $$ (1 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: