Käsitellään

Lukujonot ja summat

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi-sivun Lukujonot ja summat -luvun itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Aritmeettinen lukujono alkaa 3,7,11

a) Määritä jonon differenssi. (1 p.)

b) Määritä jonon yleinen jäsen. (2 p.)

c) Tutki jonon yleisen jäsenen avulla, onko luku 25 jonon jäsen. (3 p.)

Pisteytysohje: 

a) Differenssi on peräkkäisten jäsenten erotus, eli esimerkiksi 73=4. (1 p.)

b) Aritmeettisen jonon yleinen jäsen saadaan kaavalla an=a1+(n1)d, missä a1 on jonon ensimmäinen jäsen ja d on differenssi. Tässä tehtävässä on a1=3 ja d=4. Sijoittamalla nämä kaavaan saadaan an=3+(n1)4,  (1 p.)

josta sieventemällä saadaan an=3+4n4=4n1.  (1 p.)

c) Luku 25 on lukujonon jäsen, jos yhtälöllä an=25 on positiivinen kokonaislukuratkaisu. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se. 

an=254n1=25 (1 p.)4n=26n=264=6,5 (1 p.)

joka ei ole positiivinen kokonaisluku. Siis luku 25 ei ole lukujonon jäsen. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Aritmeettisen jonon yleinen jäsen on $a_n=5n-3$ ja geometrisen jonon on $b_n=2\cdot 3^{n-1}$. 

a) Määritä jonojen 7. jäsenet. (2 p.)

b) Laske jonojen 13 ensimmäisen jäsenen summa. (4 p.)

Pisteytysohje: 

a) Aritmeettisen jonon seitsemäs jäsen on $a_7=5\cdot7-3=32.$ (1 p.)

Geometrisen jonon seitsemäs jäsen on $b_7=2\cdot 3^{7-1}=2\cdot 3^6=1458.$ (1 p.)

b) Aritmeettisen summan kaava on $S_n=n\dfrac{a_1+a_n}{2}$, eli jotta summa voidaan laskea, niin tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ sekä viimeinen yhteenlaskettava, eli $a_{13}$. Saadaan $$a_1=5\cdot 1-3=2$$ ja $$a_{13}=5\cdot 13-3=62. $$ (1 p.)

Summaksi saadaan $$S_{13}=13\cdot\dfrac{2+62}{2}=416. $$ (1 p.)

Geometrisen summan kaava on $S_n=a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$, joten summa voidaan laskea, kun tiedetään suhdeluku $q$ sekä jonon ensimmäinen jäsen. Suhdeluku nähdään suoraan yleisen jäsenen lausekkeesta, eli $q=3$, samoin kuin ensimmäinen jäsen: $a_1=2$. (1 p.) Summaksi tällöin saadaan $$S_{13}=2\cdot \dfrac{1-3^{13}}{1-3}=1594322. $$ (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tarkastellaan lukujonoa $(a_n)$, joka alkaa $4, 20, 100.$

a) Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua edellisen jäsenen $a_{n-1}$ avulla, eli toisin sanoen määritä lukujono $(a_n)$ rekursiivisesti.

b) Määritä rekursiivisen jonon säännöllä $a_4$ ja $a_5$ välivaiheet esittäen.

c) Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua järjestysnumeron $n$ avulla, eli toisin sanoen määritä lukujono $(a_n)$ analyyttisesti.

Pisteytysohje: 

a) Seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellistä luvulla 5. (1 p.)

Näin ollen lukujono voidaan määritellä rekursiivisesti seuraavasti:

\(\begin{cases} a_1&=4\\ a_n&=5\cdot a_{n-1}, \text{ kun } n\geq2 \text{ (1 p.)} \end{cases}\)

b) $$a_4=5\cdot a_3=5\cdot100=500 $$ (1 p.) ja $$a_5=5\cdot a_4=5\cdot 500=2500. $$ (1 p.)

c) Koska seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellistä samalla luvulla, niin kyseessä on geometrinen lukujono, jossa $a_1=4$ ja $q=5$. (1 p.) 

Yleinen jäsen on tällöin $$a_n=4\cdot 5^{n-1}. $$ (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: