Teoria
Tason avaruudessa määräävät joko
- kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla,
- yksi piste ja kaksi tason suuntavektoria \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\), jossa \(\bar{u}\nparallel\bar{v}\) ja \(\bar{u},\bar{v}\neq\bar{0}\),
- tason yhtälö
- yksi piste ja tason normaalivektori
Tason normaalivektori (\(\bar{n}\)) on vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan, eli tason molempia suuntavektoreita vastaan.
Normaalivektori \(\bar{n}\) voidaan määrittää, joko
- tason suuntavektoreista \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\)
\[\begin{align} \begin{cases} \bar{n}\perp\bar{u} \\ \bar{n}\perp \bar{v} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \bar{n}\cdot\bar{u}=0 \\ \bar{n}\cdot \bar{v}=0 \end{cases}\end{align}\]
tai - tason yhtälöstä \(Ax+By+Cz=D\)
Jos tason yhtälö on muotoa \(Ax+By+Cz=D\), niin eräs tason normaalivektori on \(\bar{n}=A\bar{i}+B\bar{j}+C\bar{k}\).
Päinvastainen päättely voidaan tehdä, sijoittamalla tason piste yhtälöön. Perustelu ja todistus "esimerkkinä".
Pisteen etäisyys tasosta
Pisteen \(P\) etäisyys tasosta \(a\) määräytyy tasolla pistettä \(P\) lähinnä olevan pisteen \(P_0\) määrittelemän vektorin \(\vec{PP_0}\) avulla. Vektori \(\vec{PP_0}\) on eräs tason normaali, eli se on kohtisuorassa tason suuntavektoreita vastaan.
Videot
Esimerkit
Esimerkki 1
Pisteet \((0, 2, 3)\), \((1, 3, 5)\) ja \((0, -1, 2)\) määräävät tason. Määrittele tasolle normaalivektori, jonka pituus on 3.
Merkitään \(A(0, 2, 3)\), \(B(1, 3, 5)\) ja \(C(0, -1, 2)\). Olk. \(\bar{u} = \vec{AB} = \bar{i}+\bar{j}+2\bar{k}\) ja \(\bar{u} = \vec{AC} = -3\bar{j}-\bar{k}\).
Tällöin normaalivektori \(\bar{n} = x\bar{i}+y\bar{j}+z\bar{k}\)
Tiedetään, että
\[\begin{align} \begin{cases} \bar{n}\perp\bar{u} \\ \bar{n}\perp\bar{v} \\ |\bar{n}| = 3 \end{cases}\Leftrightarrow &\begin{cases} \bar{n}\cdot\bar{u} &= 0\\ \bar{n}\cdot \bar{v} &= 0 \\ \sqrt{x^2+y^2+z^2}&=3\end{cases} \\ &\begin{cases} x + y + 2z &= 0 \\ -3y - z &= 0 \\ x^2+y^2+z^2&=9 \end{cases}\\ \text{Keskimmäisestä} -3y&=z\\ &\begin{cases} x + y + 2(-3y) &= 0 \\ z &= -3y \\ x^2+y^2+z^2&=9 \end{cases}\\ &\begin{cases} x &=5y \\ z &= -3y \\ x^2+y^2+z^2&=9 \end{cases} \\ &\begin{cases} x &=5y \\ z &= -3y \\ (5y)^2+y^2+(-3y)^2&=9 \end{cases} \\ 25y^2+y^2+9y^2&=9 \\ 35y^2 &= 9 \\ y^2 &= \frac{9}{35} \\ y &= \pm \frac{3}{\sqrt{35}}\end{align}\]
\[\begin{align} \text{Kun } y=+\frac{3}{\sqrt{35}}
\text{, niin} && \text{Kun } y= -\frac{3}{\sqrt{35}} \text{, niin} \\
\begin{cases} x = \frac{5\cdot 3}{\sqrt{35}}= \frac{15}{\sqrt{35}} \\ y = \frac{3}{\sqrt{35}} \\ z = \frac{-3 \cdot 3}{\sqrt{35}} = - \frac{9}{\sqrt{35}} \end{cases} && \begin{cases} x = \frac{5\cdot (-3)}{\sqrt{35}} = -\frac{15}{\sqrt{35}} \\ y = -\frac{3}{\sqrt{35}} \\ z = \frac{-3\cdot (-3)}{\sqrt{35}} = \frac{9}{\sqrt{35}}\end{cases}\\ \bar{n} = \frac{15}{\sqrt{35}}\bar{i} + \frac{3}{\sqrt{35}}\bar{j} - \frac{9}{\sqrt{35}}\bar{k} && \bar{n} = -\frac{15}{\sqrt{35}}\bar{i} - \frac{3}{\sqrt{35}}\bar{j} +\frac{9}{\sqrt{35}}\bar{k} \end{align}\]
TAI laskimella
Esimerkki 2
Pisteet \((0, 2, 3)\), \((1, 3, 5)\) ja \((0, -1, 2)\) määräävät tason. Määrittele tason yhtälö.
Ratk
Edellisessä tehtävässä määriteltiin normaalivektori, josta eräs normaalivektori \(\bar{n} = \frac{15}{\sqrt{35}}\bar{i} + \frac{3}{\sqrt{35}}\bar{j} - \frac{9}{\sqrt{35}}\bar{k}\)
\[\begin{align} \bar{n} &= \frac{15}{\sqrt{35}}\bar{i} + \frac{3}{\sqrt{35}}\bar{j} - \frac{9}{\sqrt{35}}\bar{k} && |\cdot \sqrt{35} |:3 \\ \frac{\sqrt{35}}{3}\bar{n} &= 5\bar{i} + \bar{j}- 3\bar{k} \end{align}\]
Tällöin tason yhtälö on muotoa \(5x + y - 3z = D\). Sijoittamalla piste \((0, 2, 3)\) yhtälöön voidaan määrittää vakio \(D\).
\[\begin{align} 5\cdot 0 + 2 - 3\cdot 3 &= D \\ D&= -7 \end{align}\]
Eli tason yhtälö on
\[\begin{align} 5x + y -3z &= - 7 \\ 5x + y -3z + 7 = 0\end{align}\]
Esimerkki 3
Taso \(T\) kulkee pisteen \((2, 1, 0)\) kautta ja tasolla on suuntavektorit \(\bar{u} = \bar{i} + \bar{k}\) ja \(\bar{v} = -\bar{i} + \bar{j} + \bar{k}\).
a) Määritä mikä tason \(T\) pisteistä on lähimpänä pistettä \(P(-1, -6 , 1)\)?
Lähin piste tasolla \(T\) on piste \(X\). Suora PX ja siten myös vektori \(\vec{PX}\) ovat tason \(T\) normaaleja.
Koska lisäksi piste \(X\) on tasossa \(T\), niin ollen \(\vec{PX} = \vec{PA} + s\bar{u} + t\bar{v}\)
Tästä tiedetään, että \[\begin{align} \begin{cases} \vec{PX} \perp \bar{u} \\ \vec{PX} \perp \bar{v} \end{cases}\end{align}\]
\(\vec{PA}= (2-(-1))\bar{i} + (1-(-6))\bar{j} + (0-1)\bar{k} = 3\bar{i} + 7\bar{j} - \bar{k}\)
\(\begin{align}\vec{PX} &= 3\bar{i} + 7\bar{j} - \bar{k} + s\cdot(\bar{i} + \bar{k}) + t\cdot(-\bar{i} + \bar{j} + \bar{k}) \\ &= (3 + s - t)\bar{i} + (7+t)\bar{j} + (-1 + s + t)\bar{k} \end{align} \)
\[\begin{align} \begin{cases} \vec{PX} \cdot \bar{u} = 0\\ \vec{PX} \cdot \bar{v} = 0\end{cases}\\ \begin{cases} (3 + s - t)\cdot 1 + (7+t)\cdot 0 + (-1 + s + t)\cdot 1 = 0 \\ (3+ s -t)\cdot (-1) + (7+t)\cdot 1 + (-1 +s +t)\cdot 1 &= 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 3 - 1 + s + s - t +t &= 0 \\ -3 +7 -1 -s +s + t + t + t&= 0 \end{cases}\\ \begin{cases} 2+2s = 0 \\ 3+ 3t = 0 \end{cases}\\ \begin{cases} s = -1 \\ t = -1 \end{cases} \end{align}\]
Vektori \[\begin{align} \vec{OX} &= \vec{OA} + s\bar{u} + t\bar{v} \\ &= 2\bar{i} + \bar{j} -1\cdot (\bar{i} + \bar{k}) -1 \cdot (-\bar{i} + \bar{j} + \bar{k}) \\ &= (2-1+1)\bar{i} + (1-1)\bar{j} + (0-1 -1)\bar{k} \\&= 2\bar{i} -2 \bar{k}\end{align}\]
eli kysytty lähin piste on \(X(2, 0, -2)\)
b) Kuinka kaukana piste \(P(-1, -6, 1)\) on tasosta \(T\)?
Pisteen \(P\) etäisyys on vektorin \(\vec{PX}\) pituus
\[ \begin{align} \vec{PX} &= (3 + s - t)\bar{i} + (7+t)\bar{j} + (-1 + s + t)\bar{k} \\&=(3 -1 -(-1))\bar{i} + (7-1)\bar{j} + (-1-1-1) \bar{k} \\ &= 3\bar{i} + 6\bar{j}-3\bar{k}\end{align}\]
\[|\vec{PX}|= \sqrt{3^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]