Avaruusgeometriaa

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivun MAA3-kurssin itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Suorakulmaisen särmiön mitat ovat suhteessa $2:3:4$ (lev., pit., kork.) ja sen tilavuus on $1500 \text{ m}^3$. Laske avaruuslävistäjän pituus kymmenen senttimetrin tarkkuudella. 

Pisteytysohje: 

Hahmotellaan kuva. 

Ratkaistaan $x$ tilavuudesta saatavasta yhtälöstä. 

\(\begin{align*} V&=2x\cdot 3x\cdot 4x\\ 24x^3&=1500 \qquad ||:24\\ x^3&=\frac{125}{2}\\ x&=\sqrt[3]{\frac{125}{2}}=\frac{5}{\sqrt[3]{2}} \text{ (m)}. \end{align*}\)Yhtälö (1 p.), vaiheesta $x^3=\frac{125}{2}$ (1 p.), $x$ oikein (1 p.)

Avaruuslävistäjä saadaan kaavalla $d^2=a^2+b^2+c^2$, missä $a,b$ ja $c$ ovat särmien pituudet. Saadaan 

\(\begin{align*} d^2&=(2x)^2+(3x)^2+(4x)^2\\ d^2&=\left(2\cdot\frac{5}{\sqrt[3]{2}}\right)^2+\left(3\cdot\frac{5}{\sqrt[3]{2}}\right)^2+\left(4\cdot\frac{5}{\sqrt[3]{2}}\right)^2\\ d^2&=\frac{725}{\sqrt[3]{4}}\\ d&=\pm\sqrt{}\frac{725}{\sqrt[3]{4}} \qquad ||\ d>0\\ d&=21{,}37\ldots\approx21{,}4 \text{ (m)}. \end{align*}\\\) Yhtälö (1 p.), $d=21{,}37\ldots$ (1 p.)

Vastaus: Avaruuslävistäjän pituus on $21{,}4$ m. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Neliöpohjaisen suoran pyramidin pohjan pinta-ala on 64 ja korkeus 6. 

a) Laske pyramidin tilavuus. (1 p.)

b) Laske pyramidin kokonaispinta-ala kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (2 p.)

c) Laske sivusärmän ja pohjatahkon välinen kulma asteen tarkkuudella. (3 p.)

Pisteytysohje: 

a) Kartion tilavuus on $V=\frac{1}{3}A_{\text{pohja}}\cdot \text{korkeus}=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 6=128$. (1 p.)

b) Hahmotellaan kuva, johon merkitään sivutahkon korkeutta kirjaimella $x$ ja pohjaneliön sivun pituutta kirjaimella $y$.

Ratkaistaan pohjaneliön sivun pituus pohjan pinta-alasta. 

$y^2=64$, josta $y=8$ ($y>0$). 

Suorakulmaisesta kolmiosta $FGE$ saadaan ratkaistua sivutahkon korkeus $x$. Pythagoraan lauseen nojalla saadaan 

$4^2+6^2=x^2$, josta $x^2=52$ ja edelleen $x=\sqrt{52}(=2\sqrt{13})$. (1 p.)

Sivutahkon pinta-ala on $A_{\text{sivutahko}}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{52}=4\sqrt{52}$, jolloin kokonaispinta-ala on 

$A_{\text{kok.}}=A_{\text{pohja}}+4A_{\text{sivutahko}}=64+4\cdot 4\sqrt{52}=64+16\sqrt{52}=179{,}37\ldots\approx179$. (1 p.) 

c) Merkitään kuvaan kysytty kulma ja merkitään sitä $\alpha$.

Kuva, jossa kulma merkitty oikein (1 p.).

Kysytty kulma $\alpha$ on suorakulmaisen kolmion $AFE$ kulma. Kolmiosta tunnetaan janan $FE$ pituus, koska se on kartion korkeus $6$. Jotta kulma $\alpha$ saadaan ratkaistuksi, tarvitaan joko sivun $AE$ tai $AF$ pituus. Kumpikin selviää Pythagoraan lauseella. Selvitetään nyt esimerkiksi sivun $AF$ pituus. Pohjaneliön lävistäjän $AC$ pituus on $\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$. $AF$ on puolet lävistäjästä, eli $|AF|=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$. (1 p.)

Nyt kulma $\alpha$ saadaan yhtälöstä 

$\tan \alpha = \frac{6}{4\sqrt{2}}$, josta $\alpha=46{,}68\ldots^{\circ}\approx 47^{\circ}$. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Pallon sisään asetetaan suurin mahdollinen kuutio. Kuution ylätahkon kärkien kautta piirretään taso, joka rajoittaa pallosta yläosasta pallosegmentin. Kuinka monta prosenttia pallosegmentin korkeus on pallon säteestä?

Vihje: Anna pallon säteeksi jokin luku, jos kirjaimella työskentely tuntuu hankalalta. Yritä lopuksi tehdä tehtävä kirjaimenkin avulla. 

 

Pisteytysohje: 

Hahmotellaan kuva. 

Kuvaan on merkitty kuution avaruuslävistäjä $AB$, pallon keskipiste $O$ ja pallon pystysuora säde $OP$. Ratkaisevaa tehtävässä on, että onnistuu päättelemään, että kuution avaruuslävistäjä on pallon halkaisija. (1 p.) Poikkileikataan pallo kuution pohjatahkoa vastaan kohtisuoralla tasolla, joka kulkee pisteiden $A$ ja $B$ kautta, eli että taso sisältää avaruuslävistäjän $AB$. Piirretään poikkileikkauksesta kuva.

Kuva (1 p.)

Jotta voidaan laskea, kuinka monta prosenttia pallosegmentin korkeus on pallon säteestä, täytyy pallosegmentin korkeus $h$ saada lausuttua pallon säteen $r$ avulla. 

Lausutaan ensin kuution särmän pituus $x$ pallon säteen avulla. Koska kuution avaruuslävistäjä on pallon halkaisija, saadaan 

$d^2=x^2+x^2+x^2=3x^2=(2r)^2$, josta $x^2=\frac{4r^2}{3}$, josta $x=\frac{2r}{\sqrt{3}}$. (1 p.)

Poikkileikkauskuvassa $h=|OP|-|OC|$, missä $|OP|=r$ ja $|OC|=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{r}{\sqrt{3}}$. (1 p.)

Sijoittamalla nämä saadaan $h=r-\frac{r}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}r-r}{\sqrt{3}}=\frac{r(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}$. (1 p.)

Edellä saatiin $h=\frac{r(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}=r\cdot 0{,}422\ldots =0{,}422\ldots r\approx 0{,}42r$. Pallosegmentin korkeus on siis $42$ % pallon säteestä. (1 p.)

Vastaus: Pallosegmentin korkeus on $42$ % pallon säteestä. 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: