Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuton MAA6-kurssin itsearviointiin.
Vastaa kuvan avulla seuraaviin kysymyksiin.
a) Määritä f(0). (1 p.)
b) Määritä f′(0). (1 p.)
c) Onko f′(2) positiivinen vai negatiivinen? Perustele. (2 p.)
d) Määritä kohdat, joissa f′(x)=0. Perustele. (2 p.)
a) f(0)=1 (1 p.) eli funktion arvo kohdassa x=0 on 1.
b) f′(0)=−3 (1 p.) eli kuvaajalle kohtaan x=0 piirretyn tangentin kulmakerroin on −3.
c) f′(2)>0 (1 p.) koska jos kuvaajalle piirretään tangentti kohtaan x=2, on se nouseva, eli kulmakerroin on positiivinen. (1 p.)
d) f′(x)=0, kun x=−1 tai x=1. (1 p.) Kyseisiin kohtiin kuvaajalle piirretyt tangentit ovat vaakasuoria, eli niiden kulmakerroin on nolla. (1 p.)
a) Tarkastellaan funktiota $f(x)$ välillä $[-1,3]$. Tutki oheista Geogebra-sovellusta ja vastaa sen avulla seuraaviin kysymyksiin.
i) Määritä $f'(-0{,}5)$. (1 p.)
ii) Milloin $f'(x)<0$? (1 p.)
iii) Missä kohdassa $x, -1\leq x\leq 3$, funktio $f(x)$ kasvaa kaikkein voimakkaimmin? (1 p.)
b) Funktiosta $f(x)$ tiedetään, että $f(0)=4 $ ja $f'(x)=2$ kaikilla $x$. Piirrä derivaattafunktion $f'(x)$ ja funktion $f(x) $ kuvaajat. (3 p.)
a)
i) $f'(-0{,}5)=0{,}75$ (1 p.)
ii) $f'(x)<0$, kun $0<x<2$. (1 p.)
iii) Funktio $f(x)$ kasvaa voimakkaimmin kohdissa $x=3$ ja $x=-1$, koska derivaatan arvo on siinä suurin ($f'(3)=f'(-2)=1{,}8$). (1 p.)
b) Koska $f'(x)=2$ kaikissa kohdissa $x$, niin kyseessä on vakiofunktio ja sen kuvaaja on vaakasuora korkeudella $2$. Toisaalta derivaattafunktion arvot kertovat funktion kasvunopeuden, joten funktion $f(x)$ kuvaajalle jokaiseen kohtaan $x$ piirretyn tangentin kulmakerroin on aina kaksi. Näin ollen alkuperäinen funktio on ensimmäisen asteen polynomi, jonka kulmakerroin on kaksi. Lisäksi se leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,4)$.
Derivaattafunktion kuvaaja oikein (1 p.)
Funktion kuvaaja kulkee pisteen $(0,4)$ kautta (1 p.)
Funktion kuvaaja oikein (1 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: