Käsitellään

MAA6 Derivaatta

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuton MAA6-kurssin itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Vastaa kuvan avulla seuraaviin kysymyksiin.

a) Määritä f(0). (1 p.)

b) Määritä f(0). (1 p.)

c) Onko f(2) positiivinen vai negatiivinen? Perustele. (2 p.)

d) Määritä kohdat, joissa f(x)=0. Perustele. (2 p.)

Pisteytysohje: 

a) f(0)=1 (1 p.) eli funktion arvo kohdassa x=0 on 1.

b) f(0)=3 (1 p.) eli kuvaajalle kohtaan x=0 piirretyn tangentin kulmakerroin on 3.

c) f(2)>0 (1 p.) koska jos kuvaajalle piirretään tangentti kohtaan x=2, on se nouseva, eli kulmakerroin on positiivinen. (1 p.)

d) f(x)=0, kun x=1 tai x=1. (1 p.) Kyseisiin kohtiin kuvaajalle piirretyt tangentit ovat vaakasuoria, eli niiden kulmakerroin on nolla. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Tarkastellaan funktiota $f(x)$ välillä $[-1,3]$. Tutki oheista Geogebra-sovellusta ja vastaa sen avulla seuraaviin kysymyksiin.

i) Määritä $f'(-0{,}5)$. (1 p.)

ii) Milloin $f'(x)<0$? (1 p.)

iii) Missä kohdassa $x, -1\leq x\leq 3$, funktio $f(x)$ kasvaa kaikkein voimakkaimmin? (1 p.)

b) Funktiosta $f(x)$ tiedetään, että $f(0)=4 $ ja $f'(x)=2$ kaikilla $x$. Piirrä derivaattafunktion $f'(x)$ ja funktion $f(x) $ kuvaajat. (3 p.)

Pisteytysohje: 

a) 

i) $f'(-0{,}5)=0{,}75$ (1 p.)

ii) $f'(x)<0$, kun $0<x<2$. (1 p.)

iii) Funktio $f(x)$ kasvaa voimakkaimmin kohdissa $x=3$ ja $x=-1$, koska derivaatan arvo on siinä suurin ($f'(3)=f'(-2)=1{,}8$). (1 p.)

b) Koska $f'(x)=2$ kaikissa kohdissa $x$, niin kyseessä on vakiofunktio ja sen kuvaaja on vaakasuora korkeudella $2$. Toisaalta derivaattafunktion arvot kertovat funktion kasvunopeuden, joten funktion $f(x)$ kuvaajalle jokaiseen kohtaan $x$ piirretyn tangentin kulmakerroin on aina kaksi. Näin ollen alkuperäinen funktio on ensimmäisen asteen polynomi, jonka kulmakerroin on kaksi. Lisäksi se leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,4)$. 

Derivaattafunktion kuvaaja oikein (1 p.)

Funktion kuvaaja kulkee pisteen $(0,4)$ kautta (1 p.)

Funktion kuvaaja oikein (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: