MAA7: trigonometriset funktiot

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAA7-kurssin itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

a) Muuta seuraavat asteet radiaaneiksi: $90^{\circ}, 30^{\circ}$ ja $156^{\circ}$. (2 p.)

b) Yhdistä oikea funktion lauseke oikeaan kuvaajaan. Osa lausekkeista jää käyttämättä. (4 p.)

  1. $\sin (2x)$
  2. $\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$
  3. $2\sin x$
  4. $2\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$
  5. $\cos (2x)$
  6. $\cos  \left(\frac{1}{2}x\right)$
  7. $2\cos x$
  8. $2\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$

Pisteytysohje: 

a) Koska $180^{\circ}=\pi$ radiaania, niin $90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}$ radiaania. Samaan tapaan $30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}$ radiaania ja $156^{\circ}=156\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{13\pi}{15}$ radiaania. (Yksi oikein (1 p.), kaksi muuta oikein (1 p.))

b) Päättelyä voi tehdä monella eri tavalla. Eräs tapa on päätellä alkuun, onko kyseessä sini- vai kosinifunktio. Koska $\sin 0=0$, niin punainen ja musta kuvaaja ovat sinifunktion kuvaaija ja toisaalta sininen ja oranssi ovat kosinifunktion kuvaajia. Koska musta kuvaaja saa arvoja välillä $[-1,1]$, ei sinifunktiolla ole kerrointa edessä. Koska mustan kuvaajan jakson pituus on $\pi$, niin kyseessä on $\sin (2x)$ eli numero 1. 

Punaisen kuvaajan arvot ovat välillä $[-2,2]$, joten sinifunktion kerroin on $2$. Koska punaisen kuvaajan jakson pituus on $4\pi$, on oikea vastaus $2\sin \left( \frac{1}{2}x\right)$ eli numero 4.

Samaan tapaan päätellään kosinifunktion kuvaajat, jolloin oranssi kuvaaja on $\cos  \left( \frac{1}{2}x\right)$ eli numero 6 ja sininen kuvaaja on $2 \cos x$ eli numero 7. 

(1 p. oikeasta vastauksesta, yht. 4 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Määritä $\sin \alpha$ tarkka arvo, kun $\cos \alpha=\dfrac{5}{9}$ ja $\dfrac{3\pi}{2}\leq\alpha\leq 2\pi$. 

b) Ratkaise yhtälö $\sin 2x+2\cos x=0$ radiaaneina.

Pisteytysohje: 

a) Koska kosinin arvo $\cos \alpha$ tunnetaan, niin selvitetään sinin arvo yhtälöstä $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Saadaan

\(\begin{align*} \sin^2\alpha+\left( \dfrac{5}{9}\right)^2&=1\\ \sin^2\alpha+\dfrac{25}{81}&=1\\ \sin^2\alpha&=1-\dfrac{25}{81}\\ \sin^2\alpha&=\dfrac{56}{81}. \end{align*}\)(Yhtälö oikein (1 p.))

Ottamalla neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta saadaan 

\(\begin{align*} \sin \alpha=\sqrt{\dfrac{56}{81}}=\dfrac{2\sqrt{14}}{9} \text{ tai } \sin \alpha=-\sqrt{\dfrac{56}{81}}=-\dfrac{2\sqrt{14}}{9}. \end{align*}\)(1 p.)

Koska kulma $\alpha$ sijaitsee neljännessä neljänneksessä ( $\dfrac{3\pi}{2}\leq\alpha\leq 2\pi$), on sinin arvo negatiivinen, joten $\sin \alpha=-\dfrac{2\sqrt{14}}{9}$. (1 p.)

b) Koska yhtälössä $\sin 2x+2\cos x=0$ esiintyy sekä siniä että kosinia ja näiden kulmat ovat eri suuruiset ($2x$ ja $x$), niin yhtälöä pitää muokata. Käytetään tietoa $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Tällöin yhtälö saa muodon 

\(\begin{align*} &2\sin x\cos x+2\cos x=0, \\ &\text{josta ottamalla yhteinen tekijä } \cos x \text{ saadaan}\\ &\cos x(2\sin x+2)=0. \end{align*}\) (Yhtälö saatu tulomuotoon (1 p.))

Tulon nollasäännön mukaan yhtälö on tosi, kun $\cos x=0$ tai $2\sin x+2=0$. Ratkaistaan nämä yhtälöt. Saadaan

\(\begin{align*} \cos x&=0\\ x&=\pm\dfrac{\pi}{2}+n\cdot 2\pi\\ x&=\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi. \end{align*}\)

\(\begin{align*} 2\sin x+2&=0\\ 2\sin x&=-2\\ \sin x&=-1\\ x&=\dfrac{3\pi}{2}+n\cdot 2\pi. \end{align*}\)(Jompikumpi yhtälön ratkaisuista oikein (1 p.))

Huom. Sinin tapauksessa toinen ratkaisu olisi $x=\pi-\dfrac{3\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}$, jolla on sama loppukylki kuin kulmalla $\dfrac{3\pi}{2}$. Tämän takia sitä ei ole kirjoitettu näkyviin, mutta sen voisi hyvin kirjoittaa ja huomata asian siinä kohtaa. 

Kun alkuperäisen yhtälön $\sin 2x+2\cos x=0$ ratkaisut sijoittaa yksikköympyrään, niin huomaa, että kosiniyhtälöstä tulleet ratkaisut sisältävät jo siniyhtälönkin ratkaisut, joten yhtälön $\sin 2x+2\cos x=0$ ratkaisut ovat $x=\dfrac{\pi}{2}+n\cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku. (1 p.)

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Derivoi $h(x)=\cos^2x$.

b) Osoita derivaatan avulla, että tangenttifunktio $g(x)=\tan x$ on kaikkialla aidosti monotoninen. 

c) Ohessa on erään trigonometrisen funktion $f(x)$ derivaattafunktion $f'(x)$ kuvaaja. Määritä sen avulla alkuperäisen funktion $f(x)$ maksimikohdat.

 

Pisteytysohje: 

a) $h(x)=\cos^2x=(\cos x)^2$, jolloin $h'(x)=2\cos x\cdot (D(\cos x))=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$. (Saatu oikein sisäfunktion derivaatta (1 p.), vastaus (1 p.) (Myös muoto $-2\sin x\cos x$ kelpaa).)

b) Tangenttifunktio on jatkuva ja derivoituva määrittelyjoukossaan. Derivoituva funktio voi vaihtaa kulkusuuntaansa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan $f(x)=\tan x$. Saadaan $f'(x)=1+\tan^2x$ tai $f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}$. (1 p. oikeasta derivaatasta)

Tutkitaan derivaatan nollakohtia. Ensimmäisellä derivaattafunktiolla saadaan $1+\tan^2x=0$ eli $\tan^2x=-1$. Minkään luvun neliö ei voi olla negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua, eli derivaatalla ei ole nollakohtia. Näin ollen funktion kuvaaja ei voi vaihtaa kulkusuuntaansa, joten funktio on aidosti monotoninen. (1 p.)

c) Derivaattafunktion nollakohdat ovat alkuperäisen funktion ääriarvokohtia. (1 p.) Näistä ne, joissa derivaatan arvo muuttuu positiivisesta negatiiviseksi, ovat funktion maksimikohtia. Kyseisessä kuvaajassa näitä ovat $\ldots,-\pi, \pi, 3\pi,\ldots$ eli maksimikohdat ovat muotoa $x=\pi+n\cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: