Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAA8-kurssimateriaalin itsearviointiin.
a) Mikä on funktion $f(x)=\ln\left(\frac{5}{3x-1}\right)$ määrittelyjoukko?
b) Sievennä lauseke $\log_3(45)-\log_3(5)+\log_3(3^{100})$ ilman laskinta.
c) Millä vakion $k$ arvoilla funktio $g(x)=\log_{4k-1}x$ on aidosti vähenevä?
a) Logaritmifunktio on määritelty, kun numerus on aidosti positiivinen. Siis funktio $f(x)=\ln\left(\frac{5}{3x-1}\right)$ on määritelty, kun $(\frac{5}{3x-1}>0$. (1 p.)
Koska osoittaja on positiivinen, niin osamäärän merkin määrää nimittäjä. Pitää olla $3x-1>0$ eli $x>\frac{1}{3}$. (1 p.)
b) $\log_3(45)-\log_3(5)+\log_3(3^{100})=log_3\left(\frac{45}{5}\right)+\log_3(3^{100})=\log_3 9+\log_3(3^{100})$ (1 p.), josta edelleen saadaan
$2+100\log_3 3=2+100=102$. (1 p.)
c) Logaritmifunktio on määritelty, kun kantaluku on positiivinen. Logaritmifunktio on aidosti vähenevä, kun kantaluku on alle yksi. Yhdistämällä nämä saadaan kantaluvulle $a$ ehto $0<a<1$. Siis funktio $g(x)=\log_{4k-1}x$ on aidosti vähenevä, kun $0<4k-1<1$. (1 p.)Tämän voi ratkaista kahtena erillisenä epäyhtälönä ja lopuksi tutkii, milloin kummatkin ehdot ovat voimassa tai sitten kaksoisepäyhtälönä. Koska eksponenttifunktioiden kohdalla näytettiin kaksoisepäyhtälövaihtoehto, niin näytetään nyt erilliset epäyhtälöt. Saadaan siis epäyhtälöt $4k-1>0$ eli $k>\frac{1}{4}$ ja $4k-1<1$ eli $k<\frac{1}{2}$. Nämä molemmat ovat voimassa, kun $\frac{1}{4}<k<\frac{1}{2}$. (1 p.)
Tee tehtävä ilman laskinta.
a) Ratkaise yhtälö $\ln(3x-1)-\ln(3-x)=0$.
b) Ratkaise yhtälö $4^x=8$ kahdella eri tavalla.
a) Selvitetään ensin yhtälön määrittelyehto. Saadaan ehdot $3x-1>0$ eli $x>\frac{1}{3}$ ja $3-x>0$ eli $x<3$. Nämä yhdistettynä on $\frac{1}{3}<x<3$. (1 p.)
Muokataan yhtälöä $\ln(3x-1)-\ln(3-x)=0$.
\(\begin{align*} \ln(3x-1)-\ln(3-x)&=0\\ \ln\left( \frac{3x-1}{3-x}\right)&=0 \\ e^0&=\frac{3x-1}{3-x}\\ 1&=\frac{3x-1}{3-x}\\ 3-x&=3x-1\\ -4x&=-4\\ x&=1. \end{align*}\)(Muodosta $e^0=\frac{3x-1}{3-x}$ (1 p.), vastauksesta (1 p.)
$x=1$ toteuttaa määrittelyehdon, joten yhtälön ratkaisu on $x=1.$
b) Ratkaistaan yhtälö $4^x=8$ eri tavoin.
\(\begin{align*} 4^x&=8\\ (2^2)^x&=2^3\\ 2^{2x}&=2^3\\ 2x&=3\\ x&=\frac{3}{2}. \end{align*}\)
\(\begin{align*} 4^x&=8\\ x&=\log_4 8=\log_4(2^3)=3\log_4 2=3\log_4 \sqrt{4}\\ x&=3\log_4 (4^{\frac{1}{2}})=3\cdot \frac{1}{2}\cdot\log_4 4=\frac{3}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}. \end{align*}\)
\(\begin{align*} 4^x&=8\\ \ln 4^x&=\ln 8\\ x\ln 4&=\ln 8\\ x&=\frac{\ln 8}{\ln 4}\\ x&=\frac{\ln (2^3)}{\ln(2^2)}=\frac{3\ln 2}{2\ln 2}\\ x&=\frac{3}{2}. \end{align*}\)
(Ensimmäisestä tavasta 1 p., toisesta tavasta 2 p.)
Määritä funktion $f(x)=\frac{x}{\ln(x)}$ ääriarvot, jos niitä on olemassa.
Funktio $f(x)=\frac{x}{\ln(x)}$ on määritelty, kun $x>0$ ja $\ln(x)\neq 0$ eli $e^0=1\neq x$. (1 p.)
Derivoidaan funktio osamäärän derivaatan säännöllä. Saadaan $$f'(x)=\dfrac{1\cdot\ln(x)-x\cdot\frac{1}{x}}{(\ln (x))^2}=\dfrac{\ln(x)-1}{(\ln(x))^2}.$$ (1 p.)
Selvitetään derivaatan nollakohdat. Osamäärä on nolla, kun osoittaja on nolla. Saadaan
\(\begin{align*} \ln(x)-1&=0\\ \ln(x)&=1\\ e^{1}&=x\\ x&=e. \end{align*}\)(1 p.)
Tutkitaan derivaatan merkkiä. Laaditaan merkki- ja kulkukaavio.
Testipisteet:
$f'(0{,}5)=\frac{\ln(0{,5})-1}{(\ln(0{,}5))^2}\approx-3{,}52$
$f'(2)=\frac{\ln(2)-1}{(\ln(2))^2}\approx-0{,}64<0$
$f'(4)=\frac{\ln(4)-1}{(\ln(4))^2}\approx0{,}20>0$ (1 p. (Jos tarkastelu välillä $]0,1[$ puuttuu, niin kokonaispistemäärästä -1 p.))
Merkki- ja kulkukaavio
0 1 e
f' x : - : - | +
f x : \ : \ | /
min. (1 p.)
Merkki- ja kulkukaavion perusteella funktiolla on minimi kohdassa $x=e$. Minimi on
$f(e)=\frac{e}{\ln(e)}=\frac{e}{1}=e.$ (1 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: