MAB2: Toisen asteen yhtälö

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAB2-kurssin itsearviointiin. 

Suositeltava osaamistaso: 
80%

a) Toisen asteen polynomifunktion huippu on pisteessä (1,2) ja lisäksi kuvaajalla on pisteet (-2,0) ja (-5,-6). Hahmottele funktion kuvaaja. 

b) Kerro, mitä kerroin $a$ ja kerroin $c$ kertovat toisen asteen polynomifunktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kuvaajasta.

Pisteytysohje: 

a) Kuvan pisteet oikein (2 p.)

Kuvaan hahmoteltu vapaalla kädellä paraabeli (1 p.)

b) Kerroin a kertoo, onko kyseessä ylös- vai alaspäin aukeava paraabeli. (1 p.) Jos a>0, niin kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli ja jos a<0, niin kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli. (1 p.)

Kerroin c kertoo, millä korkeudella paraabeli leikkaa y-akselin. (1 p.)

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Ratkaise yhtälö $x^2-9=0$ potenssiyhtälönä.

b) Ratkaise yhtälö $3x^2-12x=0$ tulon nollasäännön avulla.

c) Ratkaise yhtälö $2x^2-x=1$.

Pisteytysohje: 

a) $x^2-9=0$

$x^2=9$ (1 p.)

$x=3$ tai $x=-3$ (1 p.)

b) $3x^2-12x=0$

$x(3x-12)=0$ (1 p.)

Tulon nollasäännön nojalla 

$x=0$ tai $3x-12=0$ eli $x=4$. (1 p.)

c) Muokataan yhtälö muotoon, jossa toisella puolella on nolla. 

$2x^2-x=1$

2x^2-x-1=0$

Poimitaan kertoimet a, b ja c.

a=2, b=-1 ja c=-1 (1 p.)

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

\(x = {-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)} \over 2\cdot 2}\)

\(x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{4}\)

$x=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$ tai $x=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Neliönmuotoista terassia laajennetaan toiseen suuntaan 2 metriä ja toiseen suuntaan 3 metriä. Tällöin terassin pinta-ala kaksinkertaistuu. Mikä oli alkuperäisen terassin sivun pituus?

Pisteytysohje: 

Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella $x$. (1 p.)

Koska kyseessä on pituus, pitää olla $x>0$. (1 p.)

Suorakulmion pinta-ala lasketaan kaavalla kanta$\cdot$korkeus, joten uusi pinta-ala on $(x+2)\cdot (x+3)$. (1 p.)

Alkuperäinen pinta-ala on $x^2$.

Koska uusi pinta-ala on kaksinkertainen alkuperäiseen verrattuna, saadaan yhtälö

$(x+2)(x+3)=2x^2$ (1 p.) joka sievenee muotoon

$x^2+3x+2x+6-2x^2=0$

$-x^2+5x+6=0$ (1 p.)

Tämän ratkaisut saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla 

$x=\frac{-5\pm{\sqrt{5^2-4\cdot(-1)\cdot6}}}{2\cdot(-1)}$

$x=\frac{-1\pm 7}{-2}$

$x=\frac{-1+7}{-2}=-3$ tai $x=\frac{-1-7}{-2}=4$.

Koska $x>0$, vain ratkaisu $x=4$ käy.

Vastaus: Terassin sivun pituus oli alun perin 4 metriä. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: