Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston geometrian kurssin itsearviointiin.
Ratkaise alla olevasta suorakulmaisesta kolmiosta kulman $\alpha$ suuruus asteen tarkkuudella sekä janan $BC$ pituus.
Kulmasta $\alpha$ katsottuna kolmiosta tunnetaan vastainen kateetti ja hypotenuusa. Tämän takia pätee
$\sin \alpha=\frac{4}{5}$ (2 p.)
$\alpha=53{,}1\ldots^{\circ}\approx 53^{\circ}.$ (1 p.)
Janan $BC$ pituus saadaan esimerkiksi Pythagoraan lauseella. (Myös tiedosta $\cos(53{,}1\ldots^{\circ}=\frac{x}{5}$ voisi selvittää janan pituuden.)
Pythagoraan lauseella saadaan
$x^2+4^2=5^2$ (1 p.)
$x^2=25-16$
$x^2=9$ (1 p.)
$x=\pm\sqrt{9}$, $x>0$
$x=3$. (1 p.)
Ratkaise kuvasta janan $BE$ pituus, kun janat $AB$ ja $DE$ ovat yhdensuuntaiset.
Kolmiot $ABC$ ja $DEC$ ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla, koska niillä on yhteinen kulma $C$ ja kulmat $EDC$ ja $BAC$ ovat yhtä suuret samankohtaisina kulmina. (1 p.)
Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinosien pituuksien suhde on vakio, joten saadaan verranto
$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB}$ (1 p.)
$\frac{5}{6}=\frac{3}{3+x}$ (Toinen suhde (1 p.), toinen suhde (1 p.))
Muokkaamalla yhtälöä saadaan
$5(3+x)=6\cdot 3$ (1 p.), josta edelleen
$5x+15=18$
$5x=3$
$x=\frac{3}{5}$. (1 p.)
Tasakylkisen kolmion kanta on 4 cm ja huippukulma on 30 astetta. Laske kolmion pinta-ala.
b) Hahmotellaan kuva.
(1 p.)
Kolmion pinta-ala voidaan laskea kaavalla $A=\frac{\text{kanta}\cdot \text{korkeus}}{2}$. Tällöin pitää selvittää kuvasta $h$.
Selvitetään $h$. Korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan, eli saadaan kuvan suorakulmainen kolmio $ADC$. (1 p.) Suorakulmaisen kolmion trigonometristen suhteiden avulla saadaan yhtälö $\tan 15^{\circ}=\frac{2}{h}$ (1 p.), josta ratkaisemalla $h$ saadaan $h=\frac{2}{\tan 15^{\circ}}=4+2\sqrt{3}=7{,}46\ldots$ (cm). (2 p.)
Kolmion $ABC$ pinta-ala on $A=\frac{4\cdot (4+2\sqrt{3}) }{2}=8+4\sqrt{3}=14{,}92\ldots \approx 15$ $\left(\text{cm}^2\right)$. (1 p.)
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 15 cm$^2$.
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: