Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=x^n$ kuvaajan muotoa eksponentin $n$ eri lukuarvoilla.
a) Kuvaile sanallisesti, miten eksponentin $n$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon.
b) Määritä graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) funktion $f(x)=x^5$ arvo kohdassa $x=-1$.
c) Määritä graafisesti $f(-1)$, kun $f(x)=x^6$.
d) Ratkaise graafisesti yhtälö $x^4=3$.
e) Ratkaise graafisesti yhtälö $x^5=-2$.
a)
- Kun $f(x)=x^n$ ja $n=2, 4, 6,...$, kyseessä on parillinen potenssifunktio, jonka kuvaaja on y-akselin suhteen symmetrinen. Funktio saa kaikki positiiviset arvot kahdesti ja nollan kerran pisteessä $(0,0)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Yhtälöllä $x^n=a$ on kaksi ratkaisua, kun $a>0$ ($x=\sqrt[n]{a}$ ja $x=-\sqrt[n]{a}$) ja yksi ratkaisu, kun $a=0$ ($x=0$). Kun $a<0$, yhtälöllä ei ole ratkaisua.
- Kun $f(x)=x^n$ ja $n=1, 3, 5,...$, kyseessä on pariton potenssifunktio, jonka kuvaaja on origon suhteen symmetrinen. Funktio saa jokaisen reaalilukuarvon täsmälleen yhden kerran. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Yhtälöllä $x^n=a$ on siis aina täsmälleen yksi ratkaisu ($x=\sqrt[n]{a}$).
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(f(x)=\underline{\underline{-1}}\), kun $x=-1$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(f(-1)=\underline{\underline{\ 1\ }}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
d) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $x^4=3$ ratkaisut ovat \(x\approx\underline{\underline{-1,3}}\) ja \(x\approx\underline{\underline{1,3}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
e) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $x^5=-2$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{-1,1}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=a^x$ kuvaajan muotoa kantaluvun $a$ eri lukuarvoilla (kun $a>0$).
a) Kuvaile sanallisesti, miten kantaluvun $a$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon.
b) Määritä graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) funktion $f(x)=2^x$ arvo kohdassa $x=2$.
c) Määritä graafisesti $f(-1)$, kun $f(x)=0,\!5^x$.
d) Ratkaise graafisesti yhtälö $3^x=2$.
e) Ratkaise graafisesti yhtälö $0,\!7^x=0,5$.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
a)
- Eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteen $(0,1)$ kautta riippumatta kantaluvun arvosta, sillä $f(0)=a^0=1$.
- Kun $a>1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot kasvavat muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Kun $0<a<1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot pienenevät muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=2^x$ arvo \(f(x)=\underline{\underline{\ 4\ }}\), kun $x=2$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktiolle $f(x)=0,\!5^x$ pätee \(f(-1)=\underline{\underline{\ 2\ }}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
d) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $3^x=2$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{0,6}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
e) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $0,\!7^x=0,\!5$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{\ 2\ }}\) (hyväksytään ratkaisut väliltä $[1,\!8;2,\!2]$). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
a) Erään uuden tietokonepelin pelaamäärä kasvaa 20 % kuukaudessa. Jos kasvuvauhti pysyy samana, monta prosenttia pelaajien määrä kasvaa kuudessa kuukaudessa?
b) Kilpailevan pelifirman uuden pelin pelaajamäärä kolminkertaistui kahdessa kuukaudessa. Jos kasvuvauhti pysyy samana, kuinka monta prosenttia heidän pelaajamääränsä kasvaa kuudessa kuukaudessa?
Laske tehtävät, mutta voit hahmotella tilanteita alla olevan kuvaajan avulla.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
a) Merkitään alkuperäistä pelaajamäärää jollain kirjaimella, esim. $a$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Pelaajamäärä kasvaa 1,2-kertaiseksi joka kuukaudessa ($100\ \% + 20\ \% = 120\ \% = 1,2$).
Kuuden kuukauden kuluttua pelaajia on $a \cdot 1,2^6 =a \cdot 2,985... \approx 2,99a$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Lisäystä pelaajamäärässä on $2,99a - a = 1,99a$ ja prosentuaalisesti lisäystä on $\dfrac{1,99a}{a}=1,99 = 199\ \%$.
Vastaus: Pelaajamäärä kasvaa 199 % kuudessa kuukaudessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Merkitään alkuperäistä pelaajamäärää jollain kirjaimella, esim. $b$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaistaan, millä kertoimella $k$ pelaajien määrä kasvaa kuukaudessa. Koska pelaajamäärä kolminkertaistuu kahdessa kuukaudessa, saadaa tästä yhtälö
\( \require{color} \begin{align*} b \cdot k^2&=b\cdot3 \qquad \qquad \qquad || :b\\ k^2&=3 \\ k&=\pm\sqrt{3} = \pm 1,73...\ \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
Pelaajien määrä siis noin 1,73-kertaistuu kuukaudessa. Kuuden kuukauden kuluttua pelaajia on
$b \cdot 1,732...^6 = 27b$, jolloin lisäystä pelaajamäärässä on $27b-b=26b$. Prosentuaalisesti lisäystä on $\dfrac{26b}{b}=26 = 2600\ \%$.
Vastaus: Pelaajamäärä kasvaa 2600 % kuudessa kuukaudessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: