MAB1 testi9.2

Tämä testi suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.

Testin aihepiiri: 
Polynomifunktio (MAB)
Suositeltava osaamistaso: 
85%

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=kx+b$ kuvaajan muotoa muuttujien $k$ ja $b$ eri lukuarvoilla.

a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $k$ ja $b$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.

b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $1=1,\!5x+2,\!5$.

c) Määritä graafisesti $f(4)$, kun $f(x)=-0,\!5x+4$.

 

Pisteytysohje: 

a) 

  • Muotoa $f(x)=kx+b$ olevan funktion kuvaaja on suora.
  • ​Ensimmäisen asteen termin kerroin $k$ (jota kutsutaan kulmakertoimeksi) vaikuttaa suoran "jyrkkyyteen". Kun $k>0$, suora on nouseva suora, ja kun $k<0$, suora on laskeva suora. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Vakiotermi $b$ vaikuttaa siihen, millä "korkeudella" suora on. Havaitaan, että suora leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,b)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $1=1,\!5x+2,\!5$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx -1}}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)


 

c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion arvo \(f(4)\approx\underline{\underline{2}}\), kun $f(x)=-0,\!5x+4$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kuvaajan muotoa muuttujien $a$, $b$ ja $c$ eri lukuarvoilla.

a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $a$, $b$ ja $c$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.

b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $4=2x^2-0,5x-3$.

c) Määritä graafisesti $f(1)$, kun $f(x)=-x^2+2x+3$.


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

a) 

  • Muotoa $f(x)=ax^2+bx+c$ olevan funktion kuvaaja on paraabeli.
  • ​Toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa paraabelin aukeamissuuntaan. Kun $a>0$, paraabeli on ylöspäin aukeava, ja kun $a<0$, paraabeli on alaspäin aukeava. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin sekä pysty- että sivusuunnassa. Vakiotermi $c$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin vain pystysuunnassa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Havaitaan, että paraabeli leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,c)$.

b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $4=2x^2-0,5x-3$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx -1,\!8}}\) tai \(\underline{\underline{x \approx 2}}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)


 

c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=-x^2+2x+3$ arvo \(f(1)\approx\underline{\underline{\ 4\ }}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Urheileva opiskelija huomasi, että urheilun ja liikunnan harrastaminen koulupäivän jälkeen vaikuttaa siihen, kuinka monta tuntia jaksaa ja ehtii opiskella vielä kotona koulupäivän jälkeen. Opiskeluaika noudatti likimain funktiota $T(t)=-0,\!2t^2+0,\!7t+1$, missä $t$ on urheilemiseen ja liikkumiseen käyttetty tuntimäärä.

a) Kuinka monta tuntia opiskelija jaksoi ja ehti opiskella kotona, jos hän urheili kaksi tuntia koulupäivän jälkeen?

b) Kuinka monta tuntia opiskelija jaksoi opiskella, jos hän ei urheillut tai liikkunut yhtään?

c) Kuinka monta tuntia urheilua johti siihen, ettei opiskelija ehtinyt ja jaksanut opiskella kotonaan yhtään (eli $T(t)=0$)?

Laske vastaukset, mutta käytä alla olevaa kuvaajaa tilanteen hahmottamiseen ja vastauksesi tarkistamiseen.


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a) }T(2)&=-0,2\cdot2^2+0,7 \cdot 2 +1 \qquad \color{red} \text{(+1p)}\\ &=1,6 \end{align*}\)

Vastaus: 1,6 tuntia (1 tunti 36 minuuttia). \(\require{color}\color{red} \text{(+1p)}\)


\( \require{color} \begin{align*} \textbf{b) }T(0)&=-0,2\cdot0^2+0,7\cdot 0 +1 \qquad \color{red} \text{(+1p)}\\ &=1 \end{align*}\)

Vastaus: Yhden tunnin. \(\require{color}\color{red} \text{(+1p)}\)


\( \require{color} \begin{align*} \textbf{c) }\qquad \qquad \qquad \quad T(t)&=0\\-0,2t^2+0,7t+1&=0 & &\Big|\Big| t=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & && \Big|\Big| a=-0,2\ ;\ b=0,7\ ;\ c=1 \end{align*}\)

\( \require{color} \begin{align*} t&=\dfrac{-0,7 \pm \sqrt{0,7^2 -4 \cdot (-0,2) \cdot 1}}{2 \cdot (-0,2)} \qquad \color{red} \text{(+1p)} \\ \\t&=\dfrac{-0,7\pm \sqrt{1,29}}{-0,4} \\\\ t&=\dfrac{-0,7 \pm 1,135...}{-0,4} \\ \\ t&=-1,089... \ \text{ tai }\ t=4,589... \end{align*}\)

Vastaus: Urheiltuaan noin 4,6 tuntia opiskelija ei jaksa eikä ehdi opiskella kotonaan. \(\require{color}\color{red} \text{(+1p)}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: