Tämä testi suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=kx+b$ kuvaajan muotoa muuttujien $k$ ja $b$ eri lukuarvoilla.
a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $k$ ja $b$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.
b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $-2=x+4$.
c) Määritä graafisesti $f(-2)$, kun $f(x)=0,\!1x+0,\!6$.
a)
- Muotoa $f(x)=kx+b$ olevan funktion kuvaaja on suora.
- Ensimmäisen asteen termin kerroin $k$ (jota kutsutaan kulmakertoimeksi) vaikuttaa suoran "jyrkkyyteen". Kun $k>0$, suora on nouseva suora, ja kun $k<0$, suora on laskeva suora. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Vakiotermi $b$ vaikuttaa siihen, millä "korkeudella" suora on. Havaitaan, että suora leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,b)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $-2=x+4$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx -6}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion arvo \(f(-2)\approx\underline{\underline{0,\!4}}\), kun $f(x)=0,\!1x+0,\!6$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kuvaajan muotoa muuttujien $a$, $b$ ja $c$ eri lukuarvoilla.
a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $a$, $b$ ja $c$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.
b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $0=0,\!5x^2-x-3$.
c) Määritä graafisesti $f(2)$, kun $f(x)=3x^2-4,\!5x$.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
a)
- Muotoa $f(x)=ax^2+bx+c$ olevan funktion kuvaaja on paraabeli.
- Toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa paraabelin aukeamissuuntaan. Kun $a>0$, paraabeli on ylöspäin aukeava, ja kun $a<0$, paraabeli on alaspäin aukeava. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin sekä pysty- että sivusuunnassa. Vakiotermi $c$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin vain pystysuunnassa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Havaitaan, että paraabeli leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,c)$.
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $0=0,\!5x^2-x-3$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx -1,\!7}}\) tai \(\underline{\underline{x \approx 3,\!7}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=3x^2-4,\!5x$ arvo \(f(2)\approx\underline{\underline{\ 3\ }}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
Haastavia opiskelutehtäviä tekevä opiskelija havaitsi, että kun hän pyysi kavereitaan auttamaan häntä tehtävien tekemisessä, yhden tehtävän suorittamiseen kulunut aika tunteina noudatti likimain funktiota $T(k)=0,\!2k^2-1,\!6k+5$, missä $k$ kavereiden lukumäärä.
a) Kuinka monta tuntia opiskelijalta menee aikaa tehtävän tekemiseen, jos hänellä ei ole yhtään kaveria apunaan?
b) Kuinka monta tuntia tehtävän tekemiseen kuluu, jos hänellä on kaksi kaveria apunaan?
c) Ratkaise graafisesti (kuvaajaa tulkitsemalla), mikä olisi optimaalinen kavereiden lukumäärä, jotta työ tulisi tehtyä mahdollisimman lyhyessä ajassa?
Laske vastaukset, mutta käytä alla olevaa kuvaajaa tilanteen hahmottamiseen ja vastauksesi tarkistamiseen.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a) }T(0)&=0,2\cdot0^2-1,6 \cdot 0 +5 \qquad \color{red} \text{(+1p)}\\ &=5 \end{align*}\)
Vastaus: Viisi tuntia. \(\require{color}\color{red} \text{(+1p)}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{b) }T(2)&=0,2\cdot2^2-1,6\cdot 2 +5 \qquad \color{red} \text{(+1p)}\\ &=2,6 \end{align*}\)
Vastaus: 2,6 tuntia (2 tuntia 36 minuuttia). \(\require{color}\color{red} \text{(+1p)}\)
c) Kuvaajasta nähdään, että optimaalisin kavereiden määrä on 4 kaveria. Tällöin tehtävän suorittamiseen kuluisi 1,8 tuntia (1 tunti 48 minuuttia).
Vastaus: Neljä kaveria. \(\require{color}\color{red} \text{(+2p)}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: