MAA1 testi9.2

Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.

Testin aihepiiri: 
Potenssi- ja eksponenttifunktio
Suositeltava osaamistaso: 
85%

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=x^n$ kuvaajan muotoa eksponentin $n$ eri lukuarvoilla.

a) Kuvaile sanallisesti, miten eksponentin $n$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon.

b) Määritä graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) funktion $f(x)=x^3$ arvo kohdassa $x=-1,\!2$.

c) Määritä graafisesti $f(-1,\!2)$, kun $f(x)=x^4$.

d) Ratkaise graafisesti yhtälö $x^6=2$.

e) Ratkaise graafisesti yhtälö $x^5=4$.

Pisteytysohje: 

a) 

  • Kun $f(x)=x^n$ ja $n=2, 4, 6,...$, kyseessä on parillinen potenssifunktio, jonka kuvaaja on y-akselin suhteen symmetrinen. Funktio saa kaikki positiiviset arvot kahdesti ja nollan kerran pisteessä $(0,0)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Yhtälöllä $x^n=a$ on kaksi ratkaisua, kun $a>0$ ($x=\sqrt[n]{a}$ ja $x=-\sqrt[n]{a}$) ja yksi ratkaisu, kun $a=0$ ($x=0$). Kun $a<0$, yhtälöllä ei ole ratkaisua.
     
  • Kun $f(x)=x^n$ ja $n=1, 3, 5,...$, kyseessä on pariton potenssifunktio, jonka kuvaaja on origon suhteen symmetrinen. Funktio saa jokaisen reaalilukuarvon täsmälleen yhden kerran. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Yhtälöllä $x^n=a$ on siis aina täsmälleen yksi ratkaisu ($x=\sqrt[n]{a}$).
     

b) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(f(x)\approx\underline{\underline{-1,7}}\), kun $x=-1,\!2$ (hyväksytään arvot väliltä $[-1,\!9;-1,\!6])$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


 

c) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(f(-1,2)\approx\underline{\underline{2,2}}\) (hyväksytään arvot väliltä $[1,\!9;2,\!4])$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


 

d) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $x^6=2$ ratkaisut ovat \(x\approx\underline{\underline{-1,1}}\) ja \(x\approx\underline{\underline{1,1}}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


 

e) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $x^5=4$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{1,3}}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=a^x$ kuvaajan muotoa kantaluvun $a$ eri lukuarvoilla (kun $a>0$).

a) Kuvaile sanallisesti, miten kantaluvun $a$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon.

b) Määritä graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) funktion $f(x)=4^x$ arvo kohdassa $x=0,\!5$.

c) Määritä graafisesti $f(-3)$, kun $f(x)=0,\!8^x$.

d) Ratkaise graafisesti yhtälö $2,\!5^x=0,\!5$.

e) Ratkaise graafisesti yhtälö $0,\!5^x=4$.


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

a) 

  • Eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteen $(0,1)$ kautta riippumatta kantaluvun arvosta, sillä $f(0)=a^0=1$.
  • Kun $a>1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot kasvavat muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Kun $0<a<1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot pienenevät muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
     

b) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=4^x$ arvo \(f(x)\approx\underline{\underline{\ 2\ }}\), kun $x=0,\!5$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


 

c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktiolle $f(x)=0,\!8^x$ pätee \(f(-3)=\underline{\underline{\ 2\ }}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


 

d) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $2,\!5^x=0,\!5$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{-0,7}}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


 

e) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $0,\!5^x=4$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{-2}}\) . \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

a) Erään uuden artistin hittibiisin kuuntelijamäärä Youtubessa lisääntyy 40 % kuukaudessa. Jos kasvuvauhti pysyy samana, monta prosenttia kuuntelijamäärä lisääntyy neljässä kuukaudessa?

b) Kuuluisan teini-idolin uuden kesäbiisin kuuntelijamäärä puolestaan 2,2-kertastui kahdessa kuukaudessa. Jos kasvuvauhti pysyy samana, kuinka monta prosenttia hänen kesähittinsä kuuntelijamäärä lisääntyy neljässä kuukaudessa?

Laske tehtävät, mutta voit hahmotella tilanteita alla olevan kuvaajan avulla.


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

a) Merkitään alkuperäistä kuuntelijamäärää jollain kirjaimella, esim. $a$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Kuuntelijamäärä kasvaa 1,4-kertaiseksi joka kuukaudessa ($100\ \% + 40\ \% = 140\ \% = 1,\!4$).

Neljän kuukauden kuluttua kuuntelijoita on $a \cdot 1,\!4^4 =a \cdot 3,\!8416... \approx 3,\!84a$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Lisäystä kuuntelijamäärässä on $3,\!84a - a = 2,\!84a$. 

Prosentuaalisesti lisäystä on $\dfrac{2,\!84a}{a}=2,\!84 = 284\ \%$.

Vastaus: Kuuntelijamäärä kasvaa 284 % neljässä kuukaudessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


b) Merkitään alkuperäistä kuuntelijamäärää jollain kirjaimella, esim. $b$.  \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Ratkaistaan, millä kertoimella $k$ kuuntelijamäärä kasvaa kuukaudessa. Koska määrä 2,2-kertaistuu kahdessa kuukaudessa, saadaa tästä yhtälö

\( \require{color} \begin{align*} b \cdot k^2&=b\cdot2,2 \qquad \qquad \qquad || :b\\ k^2&=2,2 \\ k&=\pm\sqrt{2,2} = \pm 1,48...\ \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)

Kuuntelijamäärä siis noin 1,48-kertaistuu kuukaudessa. Neljän kuukauden kuluttua kuuntelijoita on

$b \cdot 1,483...^4 = 4,84b$, jolloin lisäystä määrässä on $4,\!84b-b=3,\!84b$.

Prosentuaalisesti lisäystä on $\dfrac{3,\!84b}{b}=3,\!84 = 384\ \%$.

Vastaus: Kuuntelijamäärä kasvaa 384 % neljässä kuukaudessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: