Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=x^n$ kuvaajan muotoa eksponentin $n$ eri lukuarvoilla.
a) Kuvaile sanallisesti, miten eksponentin $n$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon.
b) Määritä graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) funktion $f(x)=x^7$ arvo kohdassa $x=-1$.
c) Määritä graafisesti $f(-1)$, kun $f(x)=x^4$.
d) Ratkaise graafisesti yhtälö $x^2=3,\!5$.
e) Ratkaise graafisesti yhtälö $x^7=3$.
a)
- Kun $f(x)=x^n$ ja $n=2, 4, 6,...$, kyseessä on parillinen potenssifunktio, jonka kuvaaja on y-akselin suhteen symmetrinen. Funktio saa kaikki positiiviset arvot kahdesti ja nollan kerran pisteessä $(0,0)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Yhtälöllä $x^n=a$ on kaksi ratkaisua, kun $a>0$ ($x=\sqrt[n]{a}$ ja $x=-\sqrt[n]{a}$) ja yksi ratkaisu, kun $a=0$ ($x=0$). Kun $a<0$, yhtälöllä ei ole ratkaisua.
- Kun $f(x)=x^n$ ja $n=1, 3, 5,...$, kyseessä on pariton potenssifunktio, jonka kuvaaja on origon suhteen symmetrinen. Funktio saa jokaisen reaalilukuarvon täsmälleen yhden kerran. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Yhtälöllä $x^n=a$ on siis aina täsmälleen yksi ratkaisu ($x=\sqrt[n]{a}$).
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(f(x)=\underline{\underline{-1}}\), kun $x=-1$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(f(-1)=\underline{\underline{\ 1\ }}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
d) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $x^2=3,\!5$ ratkaisut ovat \(x\approx\underline{\underline{-1,9}}\) ja \(x\approx\underline{\underline{1,9}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
e) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $x^7=3$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{1,2}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=a^x$ kuvaajan muotoa kantaluvun $a$ eri lukuarvoilla (kun $a>0$).
a) Kuvaile sanallisesti, miten kantaluvun $a$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon.
b) Määritä graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) funktion $f(x)=1,\!5^x$ arvo kohdassa $x=4$.
c) Määritä graafisesti $f(0)$, kun $f(x)=0,1^x$.
d) Ratkaise graafisesti yhtälö $6^x=3,\!5$.
e) Ratkaise graafisesti yhtälö $0,\!9^x=1,\!5$.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
a)
- Eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteen $(0,1)$ kautta riippumatta kantaluvun arvosta, sillä $f(0)=a^0=1$.
- Kun $a>1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot kasvavat muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Kun $0<a<1$, funktion $f(x)=a^x$ arvot pienenevät muuttujan $x$ kasvaessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=1,\!5^x$ arvo \(f(x)=\underline{\underline{5,1}}\), kun $x=4$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktiolle $f(x)=0,\!1^x$ pätee \(f(0)=\underline{\underline{\ 1\ }}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
d) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $6^x=3,\!5$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{0,7}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
e) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $0,\!9^x=1,\!5$ ratkaisu on \(x\approx\underline{\underline{-4}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
a) Erään automallin arvo alenee 10 % vuodessa. Jos vuosittainen arvon alenema pysyy samana, kuinka monta prosenttia auton arvo alenee kuudessa vuodessa?
b) Erään uuden tietokoneen arvo putoaa puoleen kahdessa vuodessa. Jos arvon prosentuaalinen alenema vuodessa pysyy samana, kuinka monta prosenttia arvo alenee kuudessa vuodessa?
Laske tehtävät, mutta voit hahmotella tilanteita alla olevan kuvaajan avulla.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
a) Merkitään auton alkuperäistä arvoa jollain kirjaimella, esim. $a$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Auton arvo muuttuu kertoimella 0,9 vuodessa ($100\ \% - 10\ \% = 90\ \% = 0,\!9$).
Kuuden vuoden kuluttua auton arvo on $a \cdot 0,\!9^6 =a \cdot 0,\!531... \approx 0,\!53a$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Arvo alenee $a - 0,\!53a = 0,\!47a$.
Prosentuaalisesti se alenee $\dfrac{0,\!47a}{a}=0,\!47 = 47\ \%$.
Vastaus: Auton arvo alenee 47 % kuudessa vuodessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Merkitään alkuperäistä arvoa jollain kirjaimella, esim. $b$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaistaan, millä kertoimella $k$ tietokoneen arvo alenee vuodessa. Koska arvo putoaa puoleen kahdessa vuodessa, saadaa tästä yhtälö
\( \require{color} \begin{align*} b \cdot k^2&=b\cdot0,5 \qquad \qquad \qquad || :b\\ k^2&=0,5 \\ k&=\pm\sqrt{0,5} = \pm 0,707...\ \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
Tietokoneen arvo siis noin 0,71-kertaistuu vuodessa. Kuuden vuoden kuluttua arvo on
$b \cdot 0,\!707...^6 = 0,\!125b$.
Arvo siis alenee on $b-0,\!125b=0,\!875b$.
Prosentuaalisesti arvo alenee $\dfrac{0,\!875b}{b}=0,\!875 = 87,\!5\ \%$.
Vastaus: Tietokoneen arvo alenee 87,5 % kuudessa vuodessa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: