a) Onko piste $(-2, 5)$ käyrällä $y = x^2 + 5x + 12$?
b) Onko piste $(-2, 100)$ käyrän $y = x^2 + 5x + 12$ ylä- vai alapuolella?
a) Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan yhtälöön $x=-2$ ja $y=5$.
\(\require{color} \begin{align} 5 &= (-2)^2 + 5\cdot(-2) + 12&&\color{red}\text{(+1p)}\\ 5 &= 4 - 10 + 12\\ 5 &= 6 \quad \text{epätosi} &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: Piste ei ole kyseisellä käyrällä. $\color{red}\text{(+1p)}$
b) Sijoitetaan luku $-2$ muuttujan $x$ paikalle.
\(\require{color} \begin{align} y &= (-2)^2 + 5\cdot(-2) + 12&&\color{red}\text{(+1p)}\\ y &= 4 - 10 + 12\\ y &= 6 \end{align}\)
Kun $x = -2$, käyrällä olevan pisteen $y$-koordinaatti on $6$, eli käyrän piste on $(-2, 6)$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Pisteen $(-2, 100)$ $y$-koordinaatti on huomattavasti suurempi, joten kyseinen piste on käyrän yläpuolella.
Vastaus: Yläpuolella. $\color{red}\text{(+1p)}$
a) Määritä janan $AB$ pituus, kun $A = (-1, 5)$ ja $B = (4, 5)$.
b) Laske pisteiden $(-1,-2)$ ja $(6,3)$ välinen etäisyys.
a) Koska janan päätepisteiden $y$-koordinaatti on sama, kyseinen jana on vaakasuorassa. Sen pituus on päätepisteiden $x$-koordinaattien etäisyys. $\color{red}\text{(+1p)}$.
\(\require{color} \begin{align} &4-(-1) && \color{red}\text{(+1p)} &&& \\ =&\underline{\underline{\ 5\ }} \quad && \color{red}\text{(+1p)} &&& \end{align} \)
b) Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella $d$.
\(\require{color} \begin{align}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} && \color{red}\text{(+1p)}\\&=\sqrt{(-1-6)^2+(-2-3)^2} && \color{red}\text{(+1p)}\\ &=\sqrt{(-7)^2+(-5)^2}\\ &=\sqrt{49+25}\\&=\underline{\underline{\sqrt{74}}}&& \color{red}\text{(+1p)} &&& \end{align} \)
a) Janan päätepisteet ovat $(– 2, 1)$ ja $(4, 3)$. Määritä janan keskipiste.
b) Janan toinen päätepiste on $(– 2, 1)$ ja janan keskipiste on $(4, 3)$. Määritä janan toinen päätepiste.
a) Olkoonn janan keskipiste $(x_0, y_0)$
\(\require{color} \begin{align} x_0 &= \frac{-2+4}{2}=1 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y_0 &= \frac{1+3}{2}=2 &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: $(1,2)$ $\color{red}\text{(+1p)}$
b) Olkoon janan toinen päätepiste $(x,y)$. Janan päätepiste saadaan määritettyä päätepisteiden keskiarvojen avulla.
\(\require{color} \begin{align} x:\qquad 4 &= \frac{-2+x}{2} &&||\cdot 2\\ 8&=-2+x &&||+2\\ 10 &= x &&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y: \qquad3 &= \frac{1+y}{2} &&||\cdot 2\\ 6&=1+y &&||-1\\ 5 &= y &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: $(10,5)$ $\color{red}\text{(+1p)}$
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: