Suora kulkee pisteiden $(-2,4)$ ja $(7,-2)$ kautta. Määritä
a) suoran suuntakulma,
b) suoran yhtälö.
Harjoittele myös suoran piirtämistä alla olevan GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:
- A=(-2,4) (paina enter-näppäintä jokaisen komennon välillä)
- B=(7,-2)
- suora[A,B]
a) Lasketaan ensin suoran kulmakerroin.
\(k=\dfrac{4-(-2)}{-2-7}=\dfrac{6}{-9}=-\dfrac23 \qquad \require{color}\color{red}\text{(+1p)} \)
Kulmakertoimen avulla saadaan laskettua suuntakulma yhtälöllä $\text{tan } \alpha=k$.
\(\require{color} \begin{align} \text{tan } \alpha&=k\\ \text{tan } \alpha&=-\frac23 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ \alpha&=-33,690...^{\circ}\\ \alpha&\approx\underline{\underline{-33,7^{\circ}}}&&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
b) Suoran yhtälö saadaan yhtälöllä $y-y_0=k(x-x_0)$.
\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k(x-x_0) \\ y-4&=-\frac23(x-(-2)) &&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y-4&=-\frac23x-\frac43&&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y&=-\frac23x+\frac83 \end{align}\)
Vastaus: \(y=-\dfrac23x+\dfrac83 \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Olkoon suorat $-2x+y+5=0$ ja $y=-3x+5$. Määritä
a) suorien leikkauspiste,
b) suorien välinen kulma.
Tutkaile tilannetta myös graafisesti GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään molempien suorien yhtälöt.
a) Ratkaistaan leikkauspiste yhtälöparilla.
\(\left\{\begin{matrix} -2x&+y+5&=0 &&||\cdot(-1)\\ 3x&+y-5&=0 \end{matrix}\right.\) $\color{red}\text{(+1p)}$
\(\left\{\begin{matrix} 2x-y-5&=0\\ 3x+y-5&=0 \end{matrix}\right.\)
Laskemalla yhtälön molemmat puolet yhteen saadaan
\(\require{color}\begin{align} 5x-10&=0\\ 5x&=10\\ x&=2&&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Sijoitetaan $x=2$ jompaan kumpaan yhtälöistä.
\(\begin{align} 3\cdot2+y-5&=0\\ 6+y-5&=0\\ y+1&=0\\ y&=-1 \end{align}\)
Vastaus: $(2,-1)$ $\color{red}\text{(+1p)}$
b) Suorien kulmakertoimet ovat $k_1=2$ ja $k_2=-3$. $\color{red}\text{(+1p)}$
\(\begin{align} \text{tan }\alpha&= \begin{vmatrix} \frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{2-(-3)}{1+2\cdot (-3)}\end{vmatrix}\\\\ &=|-1|=1\qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
\(\begin{align} \text{tan }\alpha&=1\\ \alpha&=\underline{\underline{45^\circ}}&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Olkoon pisteet $A(-2,3)$ ja $B(4,1)$. Määritä laskemalla janan $AB$ keskinormaalin yhtälö.
Muodosta tilanteesta myös kuva GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:
- A=(-2,3)
- B=(4,1)
- jana[A,B]
- keskinormaali[A,B]
Janan keskipisteen koordinaatit ovat
\(\require{color} \begin{align} x_0 &= \frac{-2+4}{2}=1 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y_0 &= \frac{3+1}{2}=2 &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Janan kulmakerroin on
\(k=\dfrac{3-1}{-2-4}=\dfrac{2}{-6}=-\dfrac13\quad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\),
joten janan keskinormaalin kulmakerroin on kohtisuoruusehdon $(k_1 \cdot k_2 = -1)$ mukaisesti $k_n=3$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Janan keskinormaalin yhtälö on siten
\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k_n(x-x_0) \\y-2&=3(x-1) &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y-2&=3x-3\\ y&=3x-1 \end{align}\)
Vastaus: $y=3x-1$ $\color{red}\text{(+1p)}$
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: