Harmoninen voima ja harmoninen värähdysliike
Heilurin päästetään heilumaan.
Saadaan yllä olevat (t, x), (t, v) ja (t, a)-koordinaatiston kuvaajat.
Missä kohtaa heilurin rataa
a) sen nopeus on pienimmillään? Entä suurimillaan?
b) sen kiihtyvyys on pienimmillään? Entä suurimnmillaan?
c) siihen kohdistuva voima on pienimmillään? Entä suurimmillaan?
a)
- Heilurin nopeus on pienimmillään, kun heiluri on jommassa kummassa ääriasennossa. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
- Heilurin nopeus on suurimmillaan, kun heiluri ohittaa tasapainoaseman. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
b)
- Heilurin kiihtyvyys on pienimmillään, kun heiluri ohittaa tasapainoaseman. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
- Heilurin kiihtyvyys on suurimmillaan, kun heiluri on jommassa kummassa ääriasennossa. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
c) Newtonin 2. lain mukaan \(F=ma\), joten heiluriin kohdistuva voima on suoraan verrannollinen sen kiihtyvyyteen. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
- Heiluriin kohdistuva voima on pienimmillään, kun heiluri ohittaa tasapainoaseman. \(\color{Red}{\text{(+0,5p)}}\)
- Heiluriin kohdistuva voima on suurimmillaan, kun heiluri on jommassa kummassa ääriasennossa. \(\color{Red}{\text{(+0,5p)}}\)
Jouseen kiinnitetään punnus, jonka massa on 1,50 kg. Jousi venyy tällöin 0,18 m.
a) Mikä on jousen jousivakio? (4p)
b) Punnus saatetaan värähtelemään. Mikä on värähtelyn jaksonaika? (2p)
Ratkaisu a-kohtaan.
Kirjataan lähtöarvot \(m=1,5 \text{ kg}, \ \Delta x=0,18 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2\)
Punnukseen kohdistuu ainoastaan paino G ja jousivoima F.
Punnus on levossa, joten Newtonin 2. lain mukaan
\(\begin{align}\sum \overline{F}&=\overline{0} &&\color{Red}{\text{(+1p)}}\\ \overline{F}+\overline{G}&=\overline{0} \\ F-G&=0 \\ F&=G && ||F=kx \\ kx&=mg &&\color{Red}{\text{(+1p)}} \\ k&=\dfrac{mg}{x}&& \end{align} \)
Sijoitetaan tunnetut lukuarvot.
\(k=\dfrac{1,5 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{0,18 \text{ m}} \qquad \color{Red}{\text{(+1p)}} \\ k= 81,75 \text{ N/m} \)
Vastaus: Jousen jousivakio on noin 82 N/m. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaisu b-kohtaan.
Värähtelyn jaksonaika saadaan laskettua harmonisen värähtelijän jaksonajan kaavalla.
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}\)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{1,5 \text{ kg}}{81,75 \text{ N/m}}}\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
\(T \approx 0,8511 \text{ s}\)
Vastaus: Värähtelyn jaksonaika on noin 0,85 s. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
a) Selitä resonanssi eli myötävärähtely
b) Tacoma Narrowsin silta romahti vuonna 1940. Katso oheinen video ja pohdi syitä sillan romahtamiselle.
a) Värähtelijä A on resonanssissa, kun siihen vaikuttaa ulkopuolinen värähtelijä B, jonka taajuus on sama tai lähes sama kuin värähtelijän A ominaisvärähtelytaajuus. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssiksi. \(\color{Red}{\text{(+3p)}}\)
Värähtelijä B siirtää energiaa värähtelijään A sen ominaistaajuudella ja saa sen värähtelemää. Energian siirtyessä värähtelijän A ominaistaajuudella, sen amplitudi kasvaa kasvamistaan.
b) Tacoman silta romahtaminen johtui muun muassa siitä, että tuulen aikaansaamat pyörteet saivat sillan rakenteet värähtelemään sen ominaistaajuudella. \(\color{Red}{\text{(+2p)}}\)
Tuulen jatkuessa sillan värähtelyn amplitudi kasvoi, kunnes lopulta sen rakenteet pettivät. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: