Pistejoukon ja ympyrän yhtälö
a) Onko piste $(-2, 5)$ käyrällä $y = x^2 + 5x + 12$?
b) Onko piste $(-2, 100)$ käyrän $y = x^2 + 5x + 12$ ylä- vai alapuolella?
a) Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan yhtälöön $x=-2$ ja $y=5$.
\(\require{color} \begin{align} 5 &= (-2)^2 + 5\cdot(-2) + 12&&\color{red}\text{(+1p)}\\ 5 &= 4 - 10 + 12\\ 5 &= 6 \quad \text{epätosi} &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: Piste ei ole kyseisellä käyrällä. $\color{red}\text{(+1p)}$
b) Sijoitetaan luku $-2$ muuttujan $x$ paikalle.
\(\require{color} \begin{align} y &= (-2)^2 + 5\cdot(-2) + 12&&\color{red}\text{(+1p)}\\ y &= 4 - 10 + 12\\ y &= 6 \end{align}\)
Kun $x = -2$, käyrällä olevan pisteen $y$-koordinaatti on $6$, eli käyrän piste on $(-2, 6)$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Pisteen $(-2, 100)$ $y$-koordinaatti on huomattavasti suurempi, joten kyseinen piste on käyrän yläpuolella.
Vastaus: Yläpuolella. $\color{red}\text{(+1p)}$
Määritä ympyrän $x^2+y^2+8x-2y+6=0$ keskipiste ja säde.
(Tutki tilannetta myös graafisesti GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään "x^2+y^2+8x-2y+6=0")
Muutetaan ympyrän yhtälö normaalimuodosta keskipistemuotoon.
\(\require{color}\begin{align} x^2+y^2+8x-2y+6&=0\\ x^2+8x\phantom{+161} +y^2-2y\phantom{+11}&=-6\\ x^2+8x\color{red}+16\color{black} +y^2-2y\color{red}{\ +1}\color{black}&=-6\color{red}{\ +16+1} &&\color{red}\text{(+2p)}\\ (x+4)^2+(y-1)^2&=11 &&\color{red}\text{(+2p)} \end{align}\)
Vastaus: Ympyrän keskipiste on $(-4,1)$ ja säde on $\sqrt{11}$. $\color{red}\text{(+2p)}$
Mitä pistejoukkoa yhtälö esittää? Perustele.
a) $x^2+y^2-16=0$
b $4x^2+4x+2y-5=0$
c) $x^2+y^2-10y=0$
(Voit tarkastella tilannetta graafisesti GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään "x^2+y^2-16=0")
a)
\(\begin{align} x^2+y^2-16 &= 0 \qquad &&||+16 \\ x^2+y^2&=16 \\ x^2+y^2&=4^2 && \color{Red}{\text{(+1p)}} \end{align}\)
Yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on origo ja säde 4. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
b)
\(\begin{align} 4x^2+4x+2y-5&=0 \\ 2y&=-4x^2-4x+5 &&||:2 \\ y&=-2x^2-2x+\frac{5}{2} &&\color{Red}{\text{(+1p)}} \end{align}\)
Yhtälö esittää alaspäin aukeavaa paraabelia. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
c)
\(\begin{align} x^2+y^2-10y &=0 \qquad &&||+25 \\ x^2+y^2-10y+25&=25 \\ x^2+(y-5)^2&=5^2 &&\color{Red}{\text{(+1p)}}\end{align}\)
Yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on (0, 5) ja säde 5. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: