MAA4 t4.1 (v2)

Ratkaistaan ympyrän yhtälö $x^2+y^2+ax+by+c=0$ sijoittamalla koordinaattipisteet yhtälöön:
 

\(\left\{\begin{matrix} (-5)^2+0^2+a \cdot (-5) +b \cdot 0+c&=0\\ 1^2+2^2+a \cdot 1 +b \cdot 2+c&=0\\(-3)^2+(-2)^2+a \cdot (-3) +b \cdot (-2)+c&=0 \end{matrix}\right.\qquad \require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

\(\left\{\begin{matrix} 25-5a+c&=0\\ 5+a+2b+c&=0\\13-3a-2b+c&=0 \end{matrix}\right.\)

Yhtälöryhmän pystyy ratkaisemaan useilla eri tavoilla. Alla on esitetty yksi vaihtoehto.

\(\left\{\begin{matrix} a=&\dfrac15 c+5 \\b=&-\dfrac12a-\dfrac12c-\dfrac52\\c=&3a+2b-13 \end{matrix}\right. \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Sijoitetaan kaksi alempaa yhtälöä ylimpään yhtälöön.

\(\require{color}\begin{align} c=&3\left(\dfrac15c+5\right)+2\left(-\dfrac12a-\dfrac12c-\dfrac52\right)-13\\ c=&3\left(\dfrac15c+5\right)+2\left(-\dfrac12\left(\dfrac15c+5\right)-\dfrac12c-\dfrac52\right)-13\\ c=&\dfrac35c+15+2\left(-\dfrac{1}{10}c-\dfrac52-\dfrac12c-\dfrac52\right)-13\\ c=&\dfrac35c+15+2\left(-\dfrac{6}{10}c-5\right)-13\\ c=&\dfrac35c+15-\dfrac{6}{5}c-10-13\\ c=&-\dfrac35c-8\\ \dfrac85c=&-8\\ c=&-5 \qquad\color{red}\text{(+1p)}\end{align}\)

Sijoitetaan $c=-5$:

\(\begin{align}a=&\dfrac15 \cdot (-5) +5\\ a=&4 \end{align}\)

Ratkaistaan $b$:

\(\begin{align} b=&-\dfrac12 \cdot 4 -\dfrac12 \cdot (-5)- \dfrac52\\ b=&-2+\dfrac52-\dfrac52\\ b=&-2 \end{align}\)

Ympyrän yhtälö on siis normaalimuodossa $x^2+y^2+4x-2y-5=0$ $\color{red}\text{(+1p)}$. Ratkaistaa keskipiste ja säde muokkaamalla yhtälö keskipistemuotoon.

\(\require{color}\begin{align} x^2+y^2+4x-2y-5=&0\\ x^2+4x\color{blue}+4 \color{black}+y^2-2y\color{blue}+1 \color{black}=&5\color{blue}+4+1 \color{black}\\ (x+2)^2+(y-1)^2=&10&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

Vastaus: Keskipiste on $(-2,1)$ ja säde on $\sqrt{10}$. $\color{red}\text{(+1p)}$