MAA4 t5.1 (v2)

Paraabelin yhtälö on muotoa $y=ax^2+bx+c$.
 

\(\left\{\begin{matrix} 5=&a \cdot 1^2 +b \cdot 1+c\\ 0=&a \cdot (-1)^2 +b \cdot (-1)+c\\ 15=&a \cdot 2^2 +b \cdot 2+c \end{matrix}\right.\qquad \require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

\(\left\{\begin{matrix} 5=&a+b+c&&(1)\\ 0=&a-b +c&&(2)\\ 15=&4a+2b+c&&(3) \end{matrix}\right.\)

Yhtälöryhmän pystyy ratkaisemaan useilla eri tavoilla. Alla on esitetty yksi vaihtoehto.

Laskemalla yhtälöt $(1)$ ja $(2)$ yhteen saadaan aikaan yhtälö $5=2a+2c$ $(4)$. $\color{red}\text{(+1p)}$

Eliminoidaan $b$ myös yhtälöparista $(2)$ ja $(3)$:

\(\left\{\begin{matrix} 0=&a-b +c&&|| \cdot2\\ 15=&4a+2b+c\end{matrix}\right.\)

\(\underline{\left\{\begin{matrix} 0=&2a-2b +2c\\ 15=&4a+2b+c\end{matrix}\right.} \\ \quad 15=6a+3c\qquad(5) \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Yhtälöistä $(4)$ ja $(5)$ saadaan:

\(\left\{\begin{matrix} 15&=&6a+3c&&\\ 5&=&2a+2c&&|| \cdot(-3)\end{matrix}\right.\\ \underline{\left\{\begin{matrix} 15&=&6a+3c&&\\ -15&=&-6a-6c\end{matrix}\right.} \\ \begin{align} \quad 0=&-3c\\c=&0 &&&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

Sijoitetaan $c=0$ yhtälöön (4):

\(\begin{align} 5=&2a+2c\\ 5=&2a+2 \cdot 0\\ 5=&2a\\\\ a=&\frac52 &&\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\end{align}\)

Sijoitetaan $a=\dfrac52$ ja $c=0$ yhtälöön (2):

\(\begin{align} 0=&a-b+c\\ 0=&\frac52-b+0&&||+b\\\\ b=&\frac52 \end{align}\)

Vastaus: Paraabelin yhtälö on $y=\dfrac52 a+\dfrac52 b$. $\color{red}\text{(+1p)}$