a) Tiivistemehua laimennettaessa tarvitaan 2 osa mehutiivistettä ja 3 osaa vettä (laimennussuhde 2:3). Kuinka paljon tiivistettä tarvitaan, jotta voidaan valmistaa 2,0 l mehua?
b) Mikko ja Veera maalasivat viikossa erään taloyhtiön piha-aidat ja saivat urakasta palkkaa yhteensä 720 euroa. Mikko oli yhden päivän poissa, joten he jakoivat urakkapalkan suhteessa 4:5. Laske kummankin osuus.
c) Minna käytti kesätyöpalkastaan \(\tfrac{1}{4}\) tavarahankintoihin ja \(\tfrac{1}{3}\) huvituksiin ja elämiseen. Loput 550 euroa hän laittoi säästöön. Kuinka paljon Minna sai kesätöistään palkkaa?
a) Osia on yhteensä \(2+3=5 \ \color{red}{\text{(+1p)}}\), joten \(\tfrac{2}{5}\) valmiista mehusta on tiivistettä, eli \(\tfrac{2}{5}\cdot 2,0=0,8\).
Vastaus: Tiivistettä tarvitaan 0,8 litraa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Osia on yhteensä \(4+5=9\), joten Mikko sai palkasta \(\tfrac{4}{9}\)-osaa ja Veera sai palkasta \(\tfrac{5}{9}\)-osaa \(\color{red}{\text{(+1p)}}\). Lasketaan Mikon ja Veeran palkat.
\(\begin{align*} &\dfrac{4}{9}\cdot 720=320 \\ \\ &\dfrac{5}{9} \cdot 720=400 \end{align*}\)
Vastaus: Mikko sai palkkaa 320 euroa ja Veera sai palkkaa 400 euroa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Lasketaan aluksi kuinka monta osaa Minnan palkasta kuluu tavarahankintoihin, huvituksiin ja elämiseen.
\(\begin{align*} \phantom{\Big|}^{3)}{}{\dfrac{1}{4}}+\phantom{\Big|}^{4)}{}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{7}{12} \end{align*}\)
Tavarahankintojen, huvitusten ja elämiseen liittyvien kulujen jälkeen Minnalle jäi 550 euroa. Siis \(\tfrac{5}{12}\)-osaa vastaa 550 euroa Minnan palkasta. Merkitään kirjaimella \(x\) Minnan kesätöistä saatua palkkaa.
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} \dfrac{5}{12}x&=550 && \color{red}\text{(+1p järkevästä aloituksesta)} \\ \\ \cancel{12} \cdot \dfrac{5}{\cancel{12}}x&=12 \cdot 550 \\\\ 5x&=6600 \\\\ \dfrac{\cancel{5}x}{\cancel{5}}&=\dfrac{6600}{5} \\\\ x&=1320 \end{align*}\)
Vastaus: Minna sai palkkaa kesätöistään 1320 euroa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
a) Jos 6,5 kg omenoita maksaa 15,6 euroa, kuinka paljon maksaa 9,0 kg omenoita?
b) Jos tietokonesovelluksen koodaamiseen kuluisi neljältä ohjelmoijalta 14 päivää, kuinka monta ohjelmoijaa tarvitaan, jos sovellus pitää saada valmiiksi 8 päivässä?
a) Omenoiden hinta on suoraan verrannollinen omenoiden painoon. Lasketaan aluksi omenoiden kilohinta.
\(\require{color} \begin{align*} \text{kilohinta (e/kg)}&=\dfrac{\text{hinta (e)}}{\text{paino (kg)}} \\ &=\dfrac{15,6 \text{ e}}{6,5 \text{ kg}} \\ &=2,4 \text{ e/kg} \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
Lasketaan tämän avulla kuinka paljon 9,0 kg omenoita maksaisi.
\(\require{color}\begin{align*} &9,0 \text{ kg}\cdot 2,4 \text{ e/kg} \qquad \color{red}\text{(+1p)} \\ = &21,6 \text{ e} \end{align*}\)
Vastaus: 9,0 kilogrammaa omenoita maksaisi 21,6 euroa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Ohjelmoijien määrä on kääntäen verrannollinen sovelluksen koodaamiseen kuluneeseen aikaan. Kääntäen verrannollisten suureiden tulo pysyy vakiona. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ohjelmoijat} & \text{Päivät} & \text{Tulo} \T \\ \hline 4 \T & 14 & 4 \cdot 14 = 56 \\\hline x \T & 8 & 8x \\\hline \end{array}\)
Tästä saadaan yhtälö, josta voimme ratkaista tarvittavien ohjelmoijien lukumäärän
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} 8x&=56 \qquad && \color{red}\text{(+1p)} \\ \dfrac{\cancel{8}x}{\cancel{8}}&=\dfrac{56}{8}\\ x&=7 \end{align*}\)
Vastaus: Ohjelmoijia tarvitaan seitsemän. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
a) Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Jos auton jarrutusmatka taajamanopeudessa (50 km/h) tietyllä kelillä on 35 m, pystyykö 90 km/h ajava autoilija pysäyttämään autonsa ennen suojatietä, jos hän aloittaa jarruttamisen 100 m ennen suojatietä?
b) Keksi kaksi suureparia, jotka ovat suoraan verrannollisia keskenään (esim. 1. irtokarkkien määrä / karkkipussin hinta ja 2. haravoitavan piha-alueen koko / haravointiin kuluva aika) ja kaksi suureparia, jotka ovat kääntäen verrannollisia keskenään (esim. 1. haravoijien lukumäärä / haravointiin kuluva aika ja 2. pyöräilynopeus / kotimatkaan kuluva aika). Tarkista vastauksesi oikeellisuus toisen ihmisen kanssa (esim. kaverisi tai vanhempasi).
Nopeuden neliö ja jarrutusmatka ovat suoraan verrannollisia. Suoraan verrannollisten suureiden suhde pysyy aina vakiona eli
\(\begin{align*} \dfrac{\text{(nopeus)}^2}{\text{jarrutusmatka}}=\text{vakio}. \end{align*} \)
Merkitään tuntematonta jarrutusmatkaa muuttujalla \(x\):
\(\require{cancel} \require{color} \begin{align*} \dfrac{50^2}{35}&=\dfrac{90^2}{x} && || \cdot x \qquad \color{red}(\text{+1p}) \\ x \cdot \dfrac{2500}{35}&=\cancel{x} \cdot \dfrac{8100}{\cancel{x}} && || \cdot 35\\ \cancel{35} \cdot \dfrac{2500}{\cancel{35}}x&=35 \cdot 8100 && ||:2500 \ \ \color{red}{\text{(+1p)}} \\ \dfrac{\cancel{2500}x}{\cancel{2500}}&=\dfrac{283 \ 500}{2500} \\ x&=113,4 \end{align*} \)
Vastaus: Jarrutusmatka nopeudella 90 km/h on 113,4 metriä, joten autoilija ei pysty pysähtymään ennen suojatietä. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
b)
- Muodostettu neljä suureparia annettujen ohjeiden mukaisesti. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Näytetty suureparit toiselle ihmiselle (esim. kaveri tai vanhempi) ja keskusteltu niistä. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Päädytty yhteisymmärrykseen, että ne ovat oikein. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: