a) Laske lausekkeen \(10p-5\) arvo, kun \(p=3\).
b) Laske lausekkeen \(x^{3}-2x\) arvo, kun \(x=-3\).
c) Täydennä puuttuva luku yhtälöön \(\boxed{\phantom{X}} -15=18\).
d) Täydennä puuttuva luku yhtälöön \(21+2 \cdot \boxed{\phantom{X}}=43\).
e) Ratkaise yhtälö \(5x-7=19\).
f) Ratkaise yhtälö \(18x+5=2(x+7)\).
Merkitse vihkoosi $\require{color}\color{red}\text{värikynällä}$ pisteesi ja puuttuvat välivaiheet.
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a)}\qquad &10\cdot p -5 \quad || p = 3 \\ =\ &10 \cdot 3 - 5 \\ =\ &\underline{\underline{25}} \qquad \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\(\require{color} \begin{align*} \textbf{b)}\quad & x^3 - 2x \qquad \qquad \qquad || x = -3 \\ =&(-3)^3-2 \cdot (-3) \\ =&-27+6 \\ =&\underline{\underline{-21}} \qquad \qquad \ \quad \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\(\require{color} \begin{align*} \textbf{c) } \boxed{\phantom{X}}&-15=18\\ \underline{\underline{33}}\color{black}&-15=18 \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\(\require{color} \begin{align*} \textbf{d) } 21+2 \cdot &\boxed{\phantom{X}}=43 \\ 21+2 \cdot &{\underline{\underline{11}}}\color{black}=43 \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} \textbf{e)} \qquad \quad 5x-7&=19 &&||\color{blue}+7 \\ 5x-7\color{blue}+7\color{black}&=19\color{blue}+7 \\ 5x&=26 &&||\color{blue}:5 \\ \dfrac{\cancel{5}x}{\color{blue}\cancel{5}}&=\dfrac{26}{\color{blue}5} \\ x&=\underline{\underline{\dfrac{26}{5}}} &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align*}\)
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} \textbf{f)}\qquad \quad 18x+5&=2(x+7) &&& &&&& \\ 18x+5&=2x+14 &&||\color{blue}-2x \\ 18x+5\color{blue}-2x\color{black}&=2x+14\color{blue}-2x \\ 16x+5&=14 &&||\color{blue}-5 \\ 16x+5\color{blue}-5\color{black}&=14\color{blue}-5\\ 16x&=9 &&||\color{blue}:16 \\ \dfrac{\cancel{16}x}{\color{blue}\cancel{16}}&=\dfrac{9}{\color{blue}16} \\ x&=\underline{\underline{\dfrac{9}{16}}} &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align*} \)
a) Laske lausekkeen \(\dfrac{2x-y}{y-5}\) arvo, kun \(x=3\) ja \(y=8\).
b) Ratkaise yhtälö \(3\left ( 5x+7 \right )=2(x-5)\).
c) Ratkaise yhtälö \(2x-\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{x}{4}\).
Merkitse vihkoosi $\require{color}\color{red}\text{värikynällä}$ pisteesi ja puuttuvat välivaiheet.
\(\require{color} \begin{align*} \textbf{a) }&\dfrac{2x-y}{y-5} &&||\ x=3, y=8 \\\\ =&\dfrac{2\cdot 3-8}{8-5} && \color{red}{\text{(+1p)}}\\\\ =&\dfrac{6-8}{3} \\\\ =&-\dfrac{2}{3} && \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} \textbf{b)} \quad 3\left ( 5x+7 \right )&=2(x-5) \\ 15x+21&=2x-10 &&\color{red}\text{(+1p)} \\ 15x+21&=2x-10 &&||\color{blue}-21 \\ 15x+21\color{blue}-21\color{black}&=2x-10\color{blue}-21 \\ 15x&=2x-31 &&||\color{blue}-2x \\ 15x\color{blue}-2x&=2x-31 \color{blue}-2x \\ 13x&=-31 &&||:13 \\ \dfrac{\cancel{13}x}{\cancel{13}}&=\dfrac{-31}{13} \\ x&=\underline{\underline{-\dfrac{31}{13}}} && \color{red}\text{(+1p)} \end{align*}\)
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} \textbf{c)} \phantom{\Big|}^{4)}2x-\dfrac{x-4}{4}&=\dfrac{x}{4} \\ \dfrac{8x}{4}-\dfrac{x-4}{4}&=\dfrac{x}{4} \\ \dfrac{8x-(x-4)}{4}&=\dfrac{x}{4} && || \cdot 4 \\ 8x-x+4&=x && \color{red} \text{(+1p)}\\ 7x+4&=x \\ 6x+4&=0 \\ 6x&=-4 && ||:6 \\ \dfrac{\cancel{6}x}{\cancel{6}}&=\dfrac{-4}{6} \\ x&=\underline{\underline{-\dfrac{2}{3}}} && \color{red}\text{(+1p)} \end{align*}\)
a) Nelihenkiseen perheeseen kuuluu äiti, isä ja kaksoset. Isä on kolme kertaa niin vanha kuin kaksoset ja vuoden nuorempi kuin äiti. Perheen yhteenlaskettu ikä on 81 vuotta. Laske kaksosten ikä.
b) Muodosta jokin pitkältä ja monimutkaiselta näyttävä yhtälö, jonka kuitenkin osaat ratkaista. Ratkaise yhtälö ja tarkista vastauksen oikeellisuus toisen ihmisen kanssa (esim. kaverisi tai vanhempasi).
a) Merkitään x = kaksosten ikä (kunkin lapsen ikä), y = isän ikä, z = äidin ikä.
Koska isä on kolme kertaa niin vanha kuin kaksoset, niin pätee \(y=3x\).
Koska äiti on isää vuoden vanhempi, pätee \(z=y+1=3x+1\).
Toisaalta perheen yhteenlaskettu ikä on 81 vuotta eli \(2x+y+z=81\).
Ratkaistaan näiden tietojen avulla kaksosten ikä.
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} 2x+\underbrace{y}_{=3x}+\underbrace{z}_{=3x}&=81 &&\color{red}\text{(+1)} \\ 2x+3x+3x&=80 &&\color{red}\text{(+1p)} \\ 8x&=80 \\ x&=10 \end{align*}\)
Vastaus: Kaksoset ovat 10 vuotiaita. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b)
- Muodostettu yhtälö annettujen ohjeiden mukaisesti. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Näytetty yhtälö toiselle ihmiselle (esim. kaveri tai vanhempi) ja keskusteltu siitä. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Päädytty yhteisymmärrykseen, että yhtälö on ratkaistu oikein. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: