(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
a) Tutki alla olevien liukukytkimien avulla yhtälön $y=kx+b$ kuvaajan muotoa muuttujien $k$ ja $b$ eri lukuarvoilla.
Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $k$ ja $b$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.
Mikä kuvaaja on kyseessä?
b) Onko piste $(1,3)$ suoralla $y=2x+1$? Entä piste $(2,4)$? Perustele.
Ratkaisu a-kohtaan.
- Muotoa $y=kx+b$ olevan yhtälön kuvaaja on suora. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Ensimmäisen asteen termin kerroin $k$ (jota kutsutaan kulmakertoimeksi) vaikuttaa suoran "jyrkkyyteen". \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Kun $k>0$, suora on nouseva suora, ja kun $k<0$, suora on laskeva suora.
- Vakiotermi $b$ vaikuttaa siihen, millä "korkeudella" suora on. Havaitaan, että suora leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,b)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
a) Missä pisteessä suora $y=3x-2$ leikkaa $x$-akselin?
b) Missä pisteessä suora $y=-5x+1$ leikkaa $y$-akselin?
Ratkaisu a-kohtaan
x-akselilla olevien pisteiden y-koodinaatti on 0.
Suora $y=3x-2$ leikkaa $x$-akselin pisteessä jossa $y=0$. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
\(\begin{align*} y&=3x-2 \qquad &&||y=0 \\ 0&=3x-2 && \color{Red}{\text{(+1p)}}\\ 3x&=2 \\ x&=\dfrac{2}{3} \end{align*}\)
Suora leikkaa x-akselin pisteessä \(\Big( \dfrac{2}{3}, \ 0 \Big)\). \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaisu b-kohtaan.
y-akselilla olevien pisteiden x-koodinaatti on 0.
Suora $y=-5x+1$ leikkaa $y$-akselin pisteessä jossa $x=0$. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
\(\begin{align*} y&=-5x+1 \qquad &&||x=0 \\ y&=-5 \cdot 0 +1 &&\color{Red}{\text{(+1p)}} \\ y&=1 \\ \end{align*}\)
Suora leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,1)$.\(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Suora kulkee pisteiden $(-2,4)$ ja $(7,-2)$ kautta.
Määritä suoran yhtälö
Harjoittele myös suoran piirtämistä alla olevan GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:
- A=(-2,4) (paina enter-näppäintä jokaisen komennon välillä)
- B=(7,-2)
- suora[A,B]
Lasketaan ensin suoran kulmakerroin.
\(k=\dfrac{4-(-2)}{-2-7}=\dfrac{6}{-9}=-\dfrac23 \qquad \require{color}\color{red}\text{(+2p)} \)
Suoran yhtälö saadaan yhtälöllä $y-y_0=k(x-x_0)$, jossa $(x_0, y_0)$ on tunnettu piste suoralta.
\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k(x-x_0) \\ y-4&=-\frac23(x-(-2)) &&\color{red}\text{(+2p)}\\\\ y-4&=-\frac23x-\frac43&&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y&=-\frac23x+\frac83 \end{align}\)
Vastaus: \(y=-\dfrac23x+\dfrac83 \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: