MAB3 t1.1

Suositeltava osaamistaso: 
80%

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

a) Tutki alla olevien liukukytkimien avulla yhtälön $y=kx+b$ kuvaajan muotoa muuttujien $k$ ja $b$ eri lukuarvoilla.

Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $k$ ja $b$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.

Mikä kuvaaja on kyseessä?

b) Onko piste $(1,3)$ suoralla $y=2x+1$? Entä piste $(2,4)$? Perustele.

 

Pisteytysohje: 

Ratkaisu a-kohtaan.

  • Muotoa $y=kx+b$ olevan yhtälön kuvaaja on suora\(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • ​Ensimmäisen asteen termin kerroin $k$ (jota kutsutaan kulmakertoimeksi) vaikuttaa suoran "jyrkkyyteen". \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Kun $k>0$, suora on nouseva suora, ja kun $k<0$, suora on laskeva suora
  • Vakiotermi $b$ vaikuttaa siihen, millä "korkeudella" suora on. Havaitaan, että suora leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,b)$.  \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaisu b-kohtaan.
Piste on suoralla, jos pisteen x- ja y-koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. 
 
\(\begin{align*} y&=2x+1 \quad &&||x=1 \\ y&=2 \cdot 1 +1 \\ y&=3 \\ \end{align*}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
 
Vastaus: Koska pisteen $(1,3)$ koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön, niin piste on suoralla. \(\require{color}\color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
 
\(\begin{align*} y&=2x+1 \quad &&||x=2 \\ y&=2 \cdot 2 +1 \\ y&=5 \neq 4\\ \end{align*}\) \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
 
Vastaus: Koska pisteen $(2,4)$ koordinaatit eivät toteuta suora yhtälöä, niin piste ei ole suoralla. \(\require{color}\color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Missä pisteessä suora $y=3x-2$ leikkaa $x$-akselin?

b) Missä pisteessä suora $y=-5x+1$ leikkaa $y$-akselin?

Pisteytysohje: 

Ratkaisu a-kohtaan

x-akselilla olevien pisteiden y-koodinaatti on 0.

Suora $y=3x-2$ leikkaa $x$-akselin pisteessä jossa $y=0$. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

\(\begin{align*} y&=3x-2 \qquad &&||y=0 \\ 0&=3x-2 && \color{Red}{\text{(+1p)}}\\ 3x&=2 \\ x&=\dfrac{2}{3} \end{align*}\)

Suora leikkaa x-akselin pisteessä \(\Big( \dfrac{2}{3}, \ 0 \Big)\)\(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

Ratkaisu b-kohtaan.

y-akselilla olevien pisteiden x-koodinaatti on 0.

Suora $y=-5x+1$ leikkaa $y$-akselin pisteessä jossa $x=0$. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

\(\begin{align*} y&=-5x+1 \qquad &&||x=0 \\ y&=-5 \cdot 0 +1 &&\color{Red}{\text{(+1p)}} \\ y&=1 \\ \end{align*}\)

Suora leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,1)$.\(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Suora kulkee pisteiden $(-2,4)$ ja $(7,-2)$ kautta.

Määritä suoran yhtälö

Harjoittele myös suoran piirtämistä alla olevan GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:

  • A=(-2,4)   (paina enter-näppäintä jokaisen komennon välillä)
  • B=(7,-2)
  • suora[A,B]

Pisteytysohje: 

Lasketaan ensin suoran kulmakerroin.

\(k=\dfrac{4-(-2)}{-2-7}=\dfrac{6}{-9}=-\dfrac23 \qquad \require{color}\color{red}\text{(+2p)} \)

 

Suoran yhtälö saadaan yhtälöllä $y-y_0=k(x-x_0)$, jossa $(x_0, y_0)$ on tunnettu piste suoralta.

\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k(x-x_0) \\ y-4&=-\frac23(x-(-2)) &&\color{red}\text{(+2p)}\\\\ y-4&=-\frac23x-\frac43&&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y&=-\frac23x+\frac83 \end{align}\)

Vastaus: \(y=-\dfrac23x+\dfrac83 \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: