a) Tiivistemehua laimennettaessa tarvitaan 1 osa mehutiivistettä ja 5 osaa vettä (laimennussuhde 1:5). Kuinka paljon tiivistettä tarvitaan, jotta voidaan valmistaa 3,0 l mehua?
b) Mikko ja Veera maalasivat viikossa erään taloyhtiön piha-aidat ja saivat urakasta palkkaa yhteensä 735 euroa. Mikko teki töitä vain kahtena päivänä, joten he jakoivat urakkapalkan suhteessa 2:5. Laske kummankin osuus.
c) Minna käytti kesätyöpalkastaan \(\tfrac{1}{2}\) tavarahankintoihin ja \(\tfrac{2}{7}\) huvituksiin ja elämiseen. Loput 300 euroa hän laittoi säästöön. Kuinka paljon Minna sai kesätöistään palkkaa?
a) Osia on yhteensä \(1+5=6 \ \color{red}{\text{(+1p)}}\), joten \(\tfrac{1}{6}\) valmiista mehusta on tiivistettä, eli \(\tfrac{1}{6}\cdot 3,0=0,5\).
Vastaus: Tiivistettä tarvitaan 0,5 litraa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Osia on yhteensä \(2+5=7\), joten Mikko sai palkasta \(\tfrac{2}{7}\)-osaa ja Veera sai palkasta \(\tfrac{5}{7}\)-osaa \(\color{red}{\text{(+1p)}}\). Lasketaan Mikon ja Veeran palkat.
\(\begin{align*} &\dfrac{2}{7}\cdot 735=210 \\ \\ &\dfrac{5}{7} \cdot 735=525 \end{align*}\)
Vastaus: Mikko sai palkkaa 210 euroa ja Veera sai palkkaa 525 euroa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Lasketaan aluksi kuinka monta osaa Minnan palkasta kuluu tavarahankintoihin, huvituksiin ja elämiseen.
\(\begin{align*} \phantom{\Big|}^{7)}{}{\dfrac{1}{2}}+\phantom{\Big|}^{2)}{}{\dfrac{2}{7}}=\dfrac{7}{14}+\dfrac{4}{14}=\dfrac{11}{14} \end{align*}\)
Tavarahankintojen, huvitusten ja elämiseen liittyvien kulujen jälkeen Minnalle jäi 300 euroa. Siis \(\tfrac{3}{14}\)-osaa vastaa 300 euroa Minnan palkasta. Merkitään kirjaimella \(x\) Minnan kesätöistä saatua palkkaa.
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} \dfrac{3}{14}x&=300 && \color{red}\text{(+1p järkevästä aloituksesta)} \\ \\ \cancel{14} \cdot \dfrac{3}{\cancel{14}}x&=14 \cdot 300 \\\\ 3x&=4200 \\\\ \dfrac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}&=\dfrac{4200}{3} \\\\ x&=1400 \end{align*}\)
Vastaus: Minna sai palkkaa kesätöistään 1400 euroa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
a) Jos 3,0 kg omenoita maksaa 8,0 euroa, kuinka paljon maksaa 7,5 kg omenoita?
b) Jos tietokonesovelluksen koodaamiseen kuluisi viideltä ohjelmoijalta 12 päivää, kuinka monta ohjelmoijaa tarvitaan, jos sovellus pitää saada valmiiksi 10 päivässä?
a) Omenoiden hinta on suoraan verrannollinen omenoiden painoon. Lasketaan aluksi omenoiden kilohinta.
\(\require{color} \begin{align*} \text{kilohinta (e/kg)}&=\dfrac{\text{hinta (e)}}{\text{paino (kg)}} \\ &=\dfrac{8,0 \text{ e}}{3,0 \text{ kg}} \\ &=2,66... \text{ e/kg} \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
Lasketaan tämän avulla kuinka paljon 7,5 kg omenoita maksaisi.
\(\require{color}\begin{align*} &7,5 \text{ kg}\cdot 2,66... \text{ e/kg} \qquad \color{red}\text{(+1p)} \\ = &20,0 \text{ e} \end{align*}\)
Vastaus: 7,5 kilogrammaa omenoita maksaisi 20,0 euroa. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Ohjelmoijien määrä on kääntäen verrannollinen sovelluksen koodaamiseen kuluneeseen aikaan. Kääntäen verrannollisten suureiden tulo pysyy vakiona. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ohjelmoijat} & \text{Päivät} & \text{Tulo} \T \\ \hline 5 \T & 12 & 5 \cdot 12 = 60 \\\hline x \T & 10 & 10x \\\hline \end{array}\)
Tästä saadaan yhtälö, josta voimme ratkaista tarvittavien ohjelmoijien lukumäärän
\(\require{cancel}\require{color} \begin{align*} 10x&=60 \qquad && \color{red}\text{(+1p)} \\ \dfrac{\cancel{10}x}{\cancel{10}}&=\dfrac{60}{10}\\ x&=6 \end{align*}\)
Vastaus: Ohjelmoijia tarvitaan kuusi. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
a) Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Jos auton jarrutusmatka taajamanopeudessa (50 km/h) on 25 m, kuinka pitkä se on auton nopeudella 110 km/h?
b) Keksi kaksi suureparia, jotka ovat suoraan verrannollisia keskenään (esim. 1. irtokarkkien määrä / karkkipussin hinta ja 2. haravoitavan piha-alueen koko / haravointiin kuluva aika) ja kaksi suureparia, jotka ovat kääntäen verrannollisia keskenään (esim. 1. haravoijien lukumäärä / haravointiin kuluva aika ja 2. pyöräilynopeus / kotimatkaan kuluva aika). Tarkista vastauksesi oikeellisuus toisen ihmisen kanssa (esim. kaverisi tai vanhempasi).
Nopeuden neliö ja jarrutusmatka ovat suoraan verrannollisia. Suoraan verrannollisten suureiden suhde pysyy aina vakiona eli
\(\begin{align*} \dfrac{\text{(nopeus)}^2}{\text{jarrutusmatka}}=\text{vakio}. \end{align*} \)
Merkitään tuntematonta jarrutusmatkaa muuttujalla \(x\):
\(\require{cancel} \require{color} \begin{align*} \dfrac{50^2}{25}&=\dfrac{110^2}{x} && || \cdot x \qquad \ \ \color{red}(\text{+1p}) \\ x \cdot \dfrac{2500}{25}&=\cancel{x} \cdot \dfrac{12100}{\cancel{x}} && || \cdot 25 \\ \cancel{25} \cdot \dfrac{2500}{\cancel{25}}x&=25 \cdot 12100 && ||:2500 \quad \color{red}{\text{(+1p)}} \\ \dfrac{\cancel{2500}x}{\cancel{2500}}&=\dfrac{302 \ 500}{2500} \\ x&=121\end{align*} \)
Vastaus: Jarrutusmatka nopeudella 110 km/h on 121 metriä. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
b)
- Muodostettu neljä suureparia annettujen ohjeiden mukaisesti. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Näytetty suureparit toiselle ihmiselle (esim. kaveri tai vanhempi) ja keskusteltu niistä. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Päädytty yhteisymmärrykseen, että ne ovat oikein. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: