Haukka, jonka massa on 1,8 kg, lentää 25 metrin korkeudella nopeudella 15 km/h.
Laske haukan mekaaninen energia.
Kirjataan lähtöarvot
\(h=25 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2, \ m=1,8 \text{ kg}, \ v=15 \text{ km/h}\) (+1p)
Asetetaan potentiaalienergian nollataso maanpinnan tasolle.
Haukan mekaaninen energia on haukan potentiaali- ja liike-energian summa.
\(E_{\text{mek}}=E_{\text{pot}}+E_{\text{mek}}\) (+1p)
\(E_{\text{mek}}=mgh+\dfrac{1}{2}mv^2\) (+2p)
Sijoitetaan lukuarvot.
\(E_{\text{mek}}=1,8\text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2\cdot 25\text{ m} + \dfrac{1}{2}\cdot 1,8\text{ kg} \cdot \Big(\dfrac{15 }{3,6} \text{m/s} \Big)^2\) (+1p)
\(E_{\text{mek}} \approx 460 \text{ J}\)
Vastaus: Haukan mekaaninen energia on noin 460 J. (+1p)
a) Kirja, jonka massa on 200 g, nostetaan lattialta 1,2 metriä korkealle pöydälle. Kuinka suuri työ tehdään?
b) Oheisessa kuvaajassa on matkalaukkuun kohdistuva kokonaisvoima matkan funktiona.
Kuinka suuri on voiman tekemä työ 5,0 metrin matkalla?
Ratkaisu a-kohtaan
Kirjataan lähtöarvot
\(m=0,200 \text{ kg}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2, \ h =1,2 \text{ m}\)
Tapa I:
Kiveen tehty työ on yhtä suuri kuin kiven potentiaalienergian muutos.
\(W=\Delta E_{\text{pot}}\) (+0,5p)
Valitaan kiven potentiaalienergian nollataso lattian tasolle.
\(W=mgh-0 \)
\(W=mgh\) (+0,5p)
Sijoitetaan lukuarvot ja lasketaan tehdyn työn suuruus.
\(W=0,200\text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 1,2 \text{ m}\) (+1p)
\(W \approx 2,6 \text{ J}\) (+1p)
Tapa II
Oletetaan, että kivi nostetaan vakionopeudella pöydälle.
Nyt kiveen kohdistuva nostava voima on yhtäsuuri kuin kiveen kohdistuva paino.
Newtonin 2. lain mukaan
\(\begin{align}\sum \overline{F}&=\overline{0} \\ \overline{G}+\overline{F}&=\overline{0} \\ -G+F&=0 \\ F&=G \\ F&=mg \end{align}\) (+0,5p)
Vakiovoiman tekemä työ lasketaan kaavalla \(W=F\cdot s\)
\(\begin{align} W&=F\cdot s \qquad ||F=mg, \ s=h \\ W&=mgh \end{align}\) (+0,5p)
Sijoitetaan lukuarvot ja lasketaan tehdyn työn suuruus.
\(W=0,200\text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 1,2 \text{ m}\) (+1p)
\(W \approx 2,6 \text{ J}\) (+1p)
Vastaus: noin 2,6 J.
Ratkaisu b-kohtaa
Voiman tekemä työ saadaan (x, F) -koordinaatistosta kuvaajan fysikaalisena pinta-alana.
\(W_{kok}=\dfrac{1}{2}\cdot 2,0 \text{ m} \cdot 4,0 \text{ N} + 3,0 \text{ m} \cdot 3,0 \text{ N}\) (+1p)
\(W_{kok}=4 \text{ J} + 9 \text{ J}=13 \text{ J}\) (+1p)
Vastaus: noin 13 J (+1p)
Alumiiniputken pituus 20 celsiusasteen lämpötilassa on 1,50 metriä.
Putken läpi johdetaan vesihöyryä, jonka lämpötila on 100 celsiusastetta.
Kuinka paljon putken pituus muuttuu?
Kirjataan lähtöarvot
\(l_0=1,50 \text{ m}, \ \Delta T=80 \text{ K}, \ \alpha=23 \cdot 10^{-6} \text{ 1/K}\) (+1p)
Alumiiniputken uusi pituus saadaan laskettua pituuden lämpölaajenemisen kaavalla
\(l=l_0+l_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T\) (+2p)
(tai \(\Delta l=l_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T\))
Sijoitetaan lukuarvot
\(l=1,50 \text{ m} + 1,50 \text{ m} \cdot 23 \cdot 10^{ -6} \text{ 1/K} \cdot 80 \text{ K}\) (+1p)
\(l=1,50276 \text{ m}\)
Pituuden muutos
\(\Delta l=l-l_0\)
\(\Delta l=1,50276 \text{ m}-1,50 \text{ m}\)
\(\Delta l=0,00276 \text{ m}\)
\(\Delta l \approx 0,0028 \text{ m} = 2,8 \text{ mm}\) (+1p)
Vastaus: Alumiiniputken pituus kasvaa 2,8 mm. (+1p)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: