Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivustolla olevan Vektorit-kurssin ensimmäisen luvun itsearviointiin.
Olkoon vektorit $\overline{a}=3\overline{i}+\overline{j}$ ja $\overline{b}=-\overline{i}+5\overline{j}$.
a) Laske pistetulo $\overline{a}\cdot \overline{b}$.
b) Ovatko vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ toisiaan vastaan kohtisuorassa? Perustele.
c) Piirrä vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ sekä niiden välinen kulma koordinaatistoon.
a) $\overline{a}\cdot \overline{b}=(3\overline{i}+\overline{j})\cdot (-\overline{i}+5\overline{j})=3\cdot(-1)+1\cdot5=-3+5=2$ (2 p.)
(Huolimattomuusvirheestä, esim. merkkivirhe, -1 p.)
b) Eivät ole, koska vektoreiden välinen pistetulo ei ole nolla. (2 p.)
(Vastauksesta eivät ole 1 p., perusteluista 1 p. Perustelun voi myös tehdä laskemalla vektoreiden $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ välisen kulman.)
c)
(2 p.) Huomaa, että sillä, mihin kohtaan koordinaatistoa olet vektorit piirtänyt, ei ole väliä. Pääasia, että vektorit alkavat samasta pisteestä.
Laske vektoreiden $\overline{v}=-2\overline{i}+3\overline{j}$ ja $\overline{w}=\overline{i}+\overline{j}$ välinen kulma asteen tarkkuudella. Arvioi tuloksen järkevyyttä kuvan avulla.
Vektoreiden välinen kulma saadaan kaavalla $$\cos({\overline{v},\overline{w}})=\dfrac{\overline{v}\cdot\overline{w}}{|\overline{v}||\overline{w}|}.$$
Lasketaan ensin pistetulo $\overline{v}\cdot \overline{w}$ sekä vektoreiden $\overline{v}$ ja $\overline{w}$ pituudet.
$\overline{v}\cdot \overline{w}=(-2\overline{i}+3\overline{j})\cdot(\overline{i}+\overline{j})=-2\cdot1+3\cdot1=-2+3=1$. (1 p.)
$|\overline{v}|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$ ja $|\overline{w}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. (1 p.)
Sijoitetaan nämä vektoreiden välisen kulman kaavaan ja ratkaistaan kulma $\angle(\overline{v},\overline{w})$.
$$\cos (\overline{v},\overline{w})=\dfrac{\overline{v}\cdot \overline{w}}{|\overline{v}||\overline{w}|}$$
$$\cos (\overline{v},\overline{w})=\dfrac{1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=0,196\ldots$$ (1 p.)
$$\angle(\overline{v},\overline{w})=78,69\ldots^{\circ}\approx79^{\circ}.$$ (2 p.)
Kuvan perusteella kulman tulee olla terävä ja melko lähellä suoraa kulmaa, joten vastaus on järkevä. (1 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: