Uusi versio
Heiluri päästetään heilumaan.
Saadaan yllä olevat (t, x), (t, v) ja (t, a)-koordinaatiston kuvaajat.
Missä kohtaa heilurin rataa
a) sen nopeus on pienimmillään? Entä suurimillaan?
b) sen kiihtyvyys on pienimmillään? Entä suurimnmillaan?
c) siihen kohdistuva voima on pienimmillään? Entä suurimmillaan?
a)
- Heilurin nopeus on pienimmillään, kun heiluri on jommassa kummassa ääriasennossa. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
- Heilurin nopeus on suurimmillaan, kun heiluri ohittaa tasapainoaseman. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
b)
- Heilurin kiihtyvyys on pienimmillään, kun heiluri ohittaa tasapainoaseman. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
- Heilurin kiihtyvyys on suurimmillaan, kun heiluri on jommassa kummassa ääriasennossa. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
c) Newtonin 2. lain mukaan \(F=ma\), joten heiluriin kohdistuva voima on suoraan verrannollinen sen kiihtyvyyteen. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
- Heiluriin kohdistuva voima on pienimmillään, kun heiluri ohittaa tasapainoaseman. \(\color{Red}{\text{(+0,5p)}}\)
- Heiluriin kohdistuva voima on suurimmillaan, kun heiluri on jommassa kummassa ääriasennossa. \(\color{Red}{\text{(+0,5p)}}\)
Jousen päässä oleva punnus saatetaan värähtelemään.
Määritä värähdysliikkeen amplitudi, jaksonaika ja taajuus oheisen kuvaajan avulla.
Kuvaajasta saadaan ratkaistua värähdysliikkeen amplitudi ja jaksonaika.
Värähdysliikkeen amplitudi on noin 0,40 m. \(\color{Red}{\text{(+2p)}}\)
Värähdysliikkeen jaksonaika on noin 6,3 s. \(\color{Red}{\text{(+2p)}}\)
Värähdysliikkeen taajuus on jaksonajan käänteisarvo.
\(\begin{align} f&=\dfrac{1}{T} \qquad \color{Red}{\text{(+1p)}} \\ f&=\dfrac{1}{6,3 \text{ s}} \\ f& \approx 0,16 \text{ Hz} \end{align}\)
Värähdysliikkeen taajuus on noin 0,16 Hz. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Vastaus: Amplitudi 0,40 m, jaksonaika 6,3 s ja taajuus 0,16 Hz.
Jouseen kiinnitetään punnus, jonka massa on 1,50 kg. Jousi venyy tällöin 0,18 m.
a) Mikä on jousen jousivakio? (4p)
b) Punnus saatetaan värähtelemään. Mikä on värähtelyn jaksonaika? (2p)
Ratkaisu a-kohtaan.
Kirjataan lähtöarvot \(m=1,5 \text{ kg}, \ \Delta x=0,18 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2\)
Punnukseen kohdistuu ainoastaan paino G ja jousivoima F.
Punnus on levossa, joten Newtonin 2. lain mukaan
\(\begin{align}\sum \overline{F}&=\overline{0} &&\color{Red}{\text{(+1p)}}\\ \overline{F}+\overline{G}&=\overline{0} \\ F-G&=0 \\ F&=G && ||F=kx \\ kx&=mg &&\color{Red}{\text{(+1p)}} \\ k&=\dfrac{mg}{x}&& \end{align} \)
Sijoitetaan tunnetut lukuarvot.
\(k=\dfrac{1,5 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{0,18 \text{ m}} \qquad \color{Red}{\text{(+1p)}} \\ k= 81,75 \text{ N/m} \)
Vastaus: Jousen jousivakio on noin 82 N/m. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaisu b-kohtaan.
Värähtelyn jaksonaika saadaan laskettua harmonisen värähtelijän jaksonajan kaavalla.
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}\)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{1,5 \text{ kg}}{81,75 \text{ N/m}}}\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
\(T \approx 0,8511 \text{ s}\)
Vastaus: Värähtelyn jaksonaika on noin 0,85 s. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: