MAA5 vaativa testi 1

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Suora kulkee pisteiden \(A(2,-1,3)\) ja \(B(3,1,5)\) kautta. Laske pisteen \(P(3,-4,4)\) etäisyys tästä suorasta.

Pisteytysohje: 

(+1p)

Pisteen $P$ etäisyys suorasta $AB$ on suoran $AB$ normaalivektorin $\overline{CP}$ pituus. (+1p) 

Vektori $\overline{AB}=\overline{i}+2\overline{j}+2\overline{k}$ ja vektori $\overline{AP}=\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k}$.

Nyt $\overline{AC}=r\overline{AB}=r(\overline{i}+2\overline{j}+2\overline{k})$. Edelleen $\overline{AP}=\overline{AC}+\overline{CP}$, josta

\(\begin{align} \overline{CP}&=\overline{AP}-\overline{AC}\\ &=\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k}-r(\overline{i}+2\overline{j}+2\overline{k})\\ &=(1-r)\overline{i}+(-3-2r)\overline{j}+(1-2r)\overline{k}.\end{align}\) (+1p)

Koska vektorit $\overline{AB}$ ja $\overline{CP}$ ovat kohtisuorassa, niin $\overline{AB}\cdot\overline{CP}=0,$ eli $1(1-r)+2(-3-2r)+2(1-2r)=0.$ (+1p)

Tästä saadaan $r=-\frac{1}{3}$. Siis $\overline{CP}=(1+\frac{1}{3})\overline{i}+(-3+\frac{2}{3})\overline{j}+(1+\frac{2}{3})\overline{k}=\frac{4}{3}\overline{i}-\frac{7}{3}\overline{j}+\frac{5}{3}\overline{k}.$ (+1p)

Tämän vektorin pituus on $\sqrt{10}.$ (+1p)

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Ovatko vektorit $\overline{a}=2\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k}$, $\overline{b}=\overline{i}-\overline{j}$ ja $\overline{c}=\overline{i}+3\overline{j}-2\overline{k}$ samassa tasossa?

Pisteytysohje: 

Vektorit $\overline{a}=2\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k}$, $\overline{b}=\overline{i}-\overline{j}$ ja $\overline{c}=\overline{i}+3\overline{j}-2\overline{k}$ ovat samassa tasossa täsmälleen silloin, kun $\overline{c}=r\overline{a}+s\overline{b}$ joillakin reaaliluvuilla $s$ ja $r$. (+2p)

Siis  \(\begin{align} \overline{i}+3\overline{j}-2\overline{k}&=r(2\overline{i}+2\overline{j}-2\overline{k})+s(\overline{i}-\overline{j})\\ &=(2r+s)\overline{i}+(2r-s)\overline{j}-2r\overline{k}. \end{align}\) (+1p)

Koska kantavektoriesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä

\(\left\{ \begin{align} 1&=2r+s\\ 3&=2r-s\\ -2&=-2r \end{align}\right. \) (+1p)

Tällä yhtälöryhmän ratkaisu on $r=1, s=-1$, joten vektorit $\overline{a}$, $\overline{b}$ ja $\overline{c}$ ovat samassa tasossa. (+2p)

HUOM! Tehtävä voidaan myös ratkaista osoittamalla, että vektoreiden $\overline{a}$, $\overline{b}$ ja $\overline{c}$ skalaarikolmitulo on nolla.

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: