Suunnikkaan $ABCD$ sivujen $BC$ ja $CD$ keskipisteet ovat $E$ ja $F$. Osoita, että vektorit $\overline{AE}$ ja $\overline{AF}$ jakavat suunnikkaan lävistäjän $BD$ kolmeen yhtä suureen osaan.
Merkitään $\overline{AB}=\overline{a}$ ja $\overline{AD}=\overline{b}$. Nyt $\overline{AE}=\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}$ ja vastaavasti $\overline{AF}=\frac{1}{2}\overline{a}+\overline{b}$. Edelleen $\overline{BD}=-\overline{a}+\overline{b}$. (+1p)
Nyt kahta eri reittiä kulkien saadaan $\overline{AG}=r\overline{AE}=\overline{AB}+\overline{BG}$, ja koska $\overline{BG}=s\overline{BD}$, saadaan yhtälö
\(\begin{align} r(\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b})&=\overline{a}+s(-\overline{a}+\overline{b})\\ r\overline{a}+\frac{1}{2}r\overline{b}&=(1-s)\overline{a}+s\overline{b} \end{align}\) (+2p)
Koska kantavektoriesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari
\(\left\{\begin{align} r&=1-s\\ \frac{1}{2}r&=s \end{align}\right.\)
Tämän ratkaisu on $r=\frac{2}{3}, s=\frac{1}{3}$, eli $\overline{BG}=\frac{1}{3}\overline{BD}$. (+1p)
Vastaavasti voidaan yhtälön $\overline{AH}=m\overline{AF}=\overline{AD}+\overline{DH}$ avulla päätellä, että $\overline{HD}=\frac{1}{3}\overline{BD}$. Tämä todistaa väitteen. (+2p)
Suora kulkee pisteen $P(-1,2,6)$ kautta ja sen eräs suuntavektori on $\overline{s}=2\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k}$. Mikä suoran pisteistä on lähinnä origoa?
Merkitään kysyttyä pistettä $Q(x,y,z)$. Nyt $\overline{PQ}=r\overline{s}=r(2\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k})$, ja edelleen
\(\begin{align}\overline{OQ}&=\overline{OP}+\overline{PQ}\\ x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}&=(-\overline{i}+2\overline{j}+6\overline{k})+r(2\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k})\\ x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}&=(-1+2r)\overline{i}+(2-3r)\overline{j}+(6+r)\overline{k}. \end{align}\) (+1p)
Kantavektoriesityksen yksikäsitteisyyden nojalla
\(\begin{cases} x=-1+2r\\ y=2-3r\\ z=6+r \end{cases}\)(+1p)
Nyt pisteen $Q$ täytyy olla suoramme origon kautta kulkevalla normaalilla, joten $\overline{s}\cdot\overline{OQ}=0$. (+1p)
Siis $(2\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k})\cdot(x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k})=0,$ eli $2x-3y+z=0$. (+1p)
Sijoitetaan yllä oleva yhtälöryhmä tähän, jolloin saadaan yhtälö $2(-1+2r)-3(2-3r)+(6+r)=0.$ (+1p)
Tämän yhtälön ratkaisu on $r=\frac{1}{7}$, joten pisteen $Q$ koordinaatit ovat
\(\begin{cases} x=-1+2\cdot \frac{1}{7}=-\frac{5}{7}\\ y=2-3\cdot \frac{1}{7}=\frac{11}{7}\\ z=6+\frac{1}{7}=\frac{43}{7} \end{cases}\) (+1p)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: