Lukujonot ja summat

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi-sivun Lukujonot ja summat -luvun itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Aritmeettinen lukujono alkaa $3,7,11$. 

a) Määritä jonon differenssi. (1 p.)

b) Määritä jonon yleinen jäsen. (2 p.)

c) Tutki jonon yleisen jäsenen avulla, onko luku 25 jonon jäsen. (3 p.)

Pisteytysohje: 

a) Differenssi on peräkkäisten jäsenten erotus, eli esimerkiksi $7-3=4$. (1 p.)

b) Aritmeettisen jonon yleinen jäsen saadaan kaavalla $$a_n=a_1+(n-1)d,$$ missä $a_1$ on jonon ensimmäinen jäsen ja $d$ on differenssi. Tässä tehtävässä on $a_1=3$ ja $d=4$. Sijoittamalla nämä kaavaan saadaan $$a_n=3+(n-1)4,$$  (1 p.)

josta sieventemällä saadaan $$a_n=3+4n-4=4n-1.$$  (1 p.)

c) Luku $25$ on lukujonon jäsen, jos yhtälöllä $a_n=25$ on positiivinen kokonaislukuratkaisu. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se. 

\(\begin{align} a_n&=25\\ 4n-1&=25 \text{ (1 p.)}\\ 4n&=26\\ n&=\dfrac{26}{4}=6{,}5 \text{ (1 p.)} \end{align}\)

joka ei ole positiivinen kokonaisluku. Siis luku $25$ ei ole lukujonon jäsen. (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Aritmeettisen jonon yleinen jäsen on $a_n=5n-3$ ja geometrisen jonon on $b_n=2\cdot 3^{n-1}$. 

a) Määritä jonojen 7. jäsenet. (2 p.)

b) Laske jonojen 13 ensimmäisen jäsenen summa. (4 p.)

Pisteytysohje: 

a) Aritmeettisen jonon seitsemäs jäsen on $a_7=5\cdot7-3=32.$ (1 p.)

Geometrisen jonon seitsemäs jäsen on $b_7=2\cdot 3^{7-1}=2\cdot 3^6=1458.$ (1 p.)

b) Aritmeettisen summan kaava on $S_n=n\dfrac{a_1+a_n}{2}$, eli jotta summa voidaan laskea, niin tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ sekä viimeinen yhteenlaskettava, eli $a_{13}$. Saadaan $$a_1=5\cdot 1-3=2$$ ja $$a_{13}=5\cdot 13-3=62. $$ (1 p.)

Summaksi saadaan $$S_{13}=13\cdot\dfrac{2+62}{2}=416. $$ (1 p.)

Geometrisen summan kaava on $S_n=a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$, joten summa voidaan laskea, kun tiedetään suhdeluku $q$ sekä jonon ensimmäinen jäsen. Suhdeluku nähdään suoraan yleisen jäsenen lausekkeesta, eli $q=3$, samoin kuin ensimmäinen jäsen: $a_1=2$. (1 p.) Summaksi tällöin saadaan $$S_{13}=2\cdot \dfrac{1-3^{13}}{1-3}=1594322. $$ (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tarkastellaan lukujonoa $(a_n)$, joka alkaa $4, 20, 100.$

a) Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua edellisen jäsenen $a_{n-1}$ avulla, eli toisin sanoen määritä lukujono $(a_n)$ rekursiivisesti.

b) Määritä rekursiivisen jonon säännöllä $a_4$ ja $a_5$ välivaiheet esittäen.

c) Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua järjestysnumeron $n$ avulla, eli toisin sanoen määritä lukujono $(a_n)$ analyyttisesti.

Pisteytysohje: 

a) Seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellistä luvulla 5. (1 p.)

Näin ollen lukujono voidaan määritellä rekursiivisesti seuraavasti:

\(\begin{cases} a_1&=4\\ a_n&=5\cdot a_{n-1}, \text{ kun } n\geq2 \text{ (1 p.)} \end{cases}\)

b) $$a_4=5\cdot a_3=5\cdot100=500 $$ (1 p.) ja $$a_5=5\cdot a_4=5\cdot 500=2500. $$ (1 p.)

c) Koska seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellistä samalla luvulla, niin kyseessä on geometrinen lukujono, jossa $a_1=4$ ja $q=5$. (1 p.) 

Yleinen jäsen on tällöin $$a_n=4\cdot 5^{n-1}. $$ (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Suorituksen kirjaaminen
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: