Aritmeettinen lukujono alkaa 3,7,11.
a) Määritä jonon differenssi (eli erotusluku). (1 p.)
b) Määritä jonon yleinen jäsen. (2 p.)
c) Tutki jonon yleisen jäsenen avulla, onko luku 25 jonon jäsen. (3 p.)
a) Differenssi on peräkkäisten jäsenten erotus, eli esimerkiksi $7-3=4$. (1 p.)
b) Aritmeettisen jonon yleinen jäsen saadaan kaavalla $a_n=a_1+(n-1)d,$ missä $a_1$ on jonon ensimmäinen jäsen ja $d$ on differenssi. Tässä tehtävässä on $a_1=3$ ja $d=4$. Sijoittamalla nämä kaavaan saadaan $a_n=3+(n-1)4,$ (+1p) josta sieventemällä saadaan $a_n=3+4n-4=4n-1.$ (+1p)
c) Luku $25$ on lukujonon jäsen, jos yhtälöllä $a_n=25$ on positiivinen kokonaislukuratkaisu. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se.
\(\begin{align} a_n&=25\\ 4n-1&=25 \color{Red}{ \text{ (1 p.)}}\\ 4n&=26\\ n&=\dfrac{26}{4}=6{,}5 \color{Red}{\text{ (1 p.)}} \end{align}\)
joka ei ole positiivinen kokonaisluku. Siis luku $25$ ei ole lukujonon jäsen. (1 p.)
Tarkastellaan lukujonoa $(a_n)$, joka alkaa $4, 20, 100.$
a) Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua edellisen jäsenen $a_{n-1}$ avulla, eli toisin sanoen määritä lukujono $(a_n)$ rekursiivisesti. (4p)
b) Määritä rekursiivisen jonon säännöllä $a_4$ ja $a_5$ välivaiheet esittäen. (2p)
a) Seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellistä luvulla 5. (2 p.)
Näin ollen lukujono voidaan määritellä rekursiivisesti seuraavasti:
\(\begin{cases} a_1&=4\\ a_n&=5\cdot a_{n-1}, \text{ kun } n\geq2 \color{Red}{\text{ (2 p.)}} \end{cases}\)
b) $a_4=5\cdot a_3=5\cdot100=500$ (1 p.) ja $a_5=5\cdot a_4=5\cdot 500=2500.$ (1 p.)
Laske lukujonon \((a_n)\) neljä ensimmäistä jäsentä ilman teknisiä apuvälineitä.
a) \(a_n=2n+1\)
b) \(a_n=-n^2+2n\)
c) \(a_n=\dfrac{5}{n+2}\)
Ratkaisu a-kohtaan
\(a_n=2n+1\)
\(\begin{align}a_\color{Blue}{1}&=2\cdot\color{Blue}1+1=2+1=3 \\ a_\color{Blue}2&=2\cdot\color{Blue}2+1=4+1=5 \\ a_\color{Blue}3&=2\cdot\color{Blue}3+1=6+1=7 \\ a_\color{Blue}4&=2 \cdot\color{Blue}4+1=8+1=9 \end{align}\)
(+0,5p/oikea lukujonon jäsen)
Ratkaisu b-kohtaan
\(a_n=-n^2+2n\)
\(\begin{align}a_\color{Blue}{1}&=-\color{Blue}1^2+2 \cdot \color{Blue}1=-1+2=1 \\ a_\color{Blue}2&=-\color{Blue}2^2+2 \cdot \color{Blue}2=-4+4=0 \\ a_\color{Blue}3&=-\color{Blue}3^2+2 \cdot \color{Blue}3=-9+6=-3 \\ a_\color{Blue}4&=-\color{Blue}4^2+2 \cdot \color{Blue}4=-16+8=-8 \end{align}\)
(+0,5p/oikea lukujonon jäsen)
Ratkaisu c-kohtaan
\(a_n=\dfrac{5}{n+2}\)
\(\begin{align}a_\color{Blue}{1}&=\dfrac{5}{\color{Blue}1+2}=\dfrac{5}{3} \\ a_\color{Blue}{2}&=\dfrac{5}{\color{Blue}2+2}=\dfrac{5}{4} \\ a_\color{Blue}{3}&=\dfrac{5}{\color{Blue}3+2}=\dfrac{5}{5}=1 \\ a_\color{Blue}{4}&=\dfrac{5}{\color{Blue}4+2}=\dfrac{5}{6} \end{align}\)
(+0,5p/oikea lukujonon jäsen)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: