Geometrisen lukujonon $a_2=3$ ja $a_3=6$. Määritä lukujonon
a) suhdeluku $q$,
b) ensimmäinen jäsen $a_1$,
c) kymmenes jäsen $a_{10}$,
d) sääntö (eli n. jäsen) $a_n$.
a) Lukujonon suhdeluku $q=\frac63=\underline{\underline{\ 2\ }}$. (+1p)
b) Lukujonon toinen jäsen saadaan, kun ensimmäinen jäsen kerrotaan suhdeluvulla, eli $a_2=a_1 \cdot q$. Vastaavasti ensimmäinen jäsen saadaan, kun toinen jäsen jaetaan suhdeluvulla, eli
$a_1=\dfrac{a_2}{q}=\dfrac{3}{2}=\underline{\underline{1,5}}$. (+1p)
c) Lukujonon kymmenes jäsen $a_{10}$ saadaan, kun ensimmäinen jäsen $a_1$ kerrotaan suhdeluvulla $q$ yhdenksän kertaa.
$a_{10}=a_1\cdot q^9$. (+1p)
\(a_{10}=1,5 \cdot 2^9=\underline{\underline{768}}\). (+1p)
d) Geometrisen lukujonon sääntö yleisesti on $a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$. (+1p)
Kyseessä olevan lukujonon sääntö on siten $a_n=1,5\cdot 2^{n-1}$. (+1p)
Määritä $S_{50}$ lukujonolle $-5,-1,3,7,...$.
Havaitaan, että kahden peräkkäisen jäsenen erotus on sama. (+1p)
$a_2 - a_1 =-1-(-5)=4$
$a_3 - a_2 =3-(-1)=4$
Kyseessä on siis aritmeettinen lukujono, jolle erotusluku $d=4$. (+1p)
Lasketaan lukujonon 50. jäsen kaavalla $a_n=a_1 + (n-1)d$.
$a_{50}=a_1 + 49d$ (+1p)
$a_{50}=-5+49 \cdot 4=191$ (+1p)
Aritmeettinen summa saadaan laskettua kaavalla $S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$.
$S_{50}=50\cdot\dfrac{a_1+a_{50}}{2}$. (+1p)
$S_{50}=50\cdot\dfrac{-5+191}{2}=\underline{\underline{4650}}$. (+1p)
Geometrisen lukujonon kolmas jäsen $a_3=1$ ja kuudes jäsen $a_6=8$. Laske summa $S_{15}$.
Lukujono on siis muotoa $a_1, a_2, 1, a_4, a_5, 8, a_7,...$.
Ratkaistaan suhdeluku $q$ yhtälön $a_6=a_3 \cdot q^3$ avulla. (+1p)
$q^3=\dfrac{a_6}{a_3}=\dfrac81=8$, josta voidaan päätellä, että $q=2$ (koska $2^3=8$). (+1p)
Näin ollen $a_2=\dfrac{a_3}{q}=\dfrac{1}{2}=0,5$ ja \(a_1=\dfrac{a_2}{q}=\dfrac{0,5}{2}=0,25\). (+2p)
Geometrinen summa lasketaan kaavalla $S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$.
$S_{15}=\dfrac{a_1(1-q^{15})}{1-q}$. (+1p)
$S_{15}=\dfrac{0,25(1-2^{15})}{1-2}=\dfrac{-8191,75}{-1}=\underline{\underline{8191,75}}$. (+1p)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: