Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivun MAA2-kurssin itsearviointiin.
Tarkastele alla olevaa funktion $f(x)=x^2$ kuvaajaa. Vastaa sen perusteella seuraaviin kysymyksiin.
a) Määritä $f(2)$. Saako funktio saman arvon joillain muilla muuttujan $x$ arvoilla? Jos, niin millä?
b) Ratkaise kuvaajan avulla yhtälö $x^2=5$ yhden desimaalin tarkkuudella.
c) Onko kuvaajan perusteella olemassa lukua $x$, jolla $x^2=-1$? Perustele.
a) $f(2)=4$. (1 p.) Lisäksi funktio saa arvon $4$ kohdassa $x=-2$. (1 p.)
b) Kuvaajan perusteella $x^2=5$, jos $x\approx 2{,}2$ tai $x\approx -2{,}2$. (2 p.) Myös $\pm2{,}3$ hyväksytään.
c) Ei ole olemassa sellaista lukua $x$, jolle $x^2=-1$. (1 p.) Jos sellainen olisi, pitäisi funktion $f(x)=x^2$ kuvaajan kulkea $x$-akselin alapuolella, mitä se ei tee. (1 p.)
Ratkaise yhtälö ilman laskinta. Tarkista laskimella ennen pisteytysohjeen katsomista ja jos ratkaisusi eroaa laskimen ratkaisusta, niin yritä löytää kohta, jossa virhe tulee. Korjaa virhe, jos osaat.
a) $x^2=16$
b) $2x^2-18=0$
c) $4-100x^2=0$
a)
\(\begin{align*} x^2&=16\\ x&=\pm\sqrt{16}\\ x&=4 \text{ tai }x=-4 \end{align*}\)
Toinen vastaus oikein (1 p.), toinen vastaus oikein (1 p.)
b)
\(\begin{align*} 2x^2-18&=0\\ 2x^2&=18\\ x^2&=9\\ x&=\pm \sqrt{9}\\ x&=3\text{ tai }x=-3. \end{align*}\)
Muodosta $x^2=9$ (1 p.) Vastauksesta (1 p.)
c) \(\begin{align*} 4-100x^2&=0\\ -100x^2&=-4\\ x^2&=\dfrac{-4}{-100}\\ x^2&=\dfrac{1}{25}\\ x&=\pm\sqrt{\dfrac{1}{25}}\\ x&=\dfrac{1}{5} \text{ tai }x=-\dfrac{1}{5}. \end{align*}\)
Muodosta $x^2=\dfrac{1}{25}$ (1 p.) Vastauksesta (1 p.)
a) Määritä $\sqrt{81}$ ilman laskinta ja perustele vastaus neliöjuuren määritelmän avulla.
b) Sievennä $\sqrt{45}$.
c) Sievennä $\sqrt{28}+\sqrt{63}$.
a) $\sqrt{81}=9$ (1 p.) koska $9\geq 0$ ja $9^2=81$. (1 p.)
b) $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}$ Muodosta $\sqrt{9\cdot 5}$ tai $\sqrt{9}\sqrt{5}$ (1 p.) Vastauksesta (1 p.)
c) $\sqrt{28}+\sqrt{63}=\sqrt{4\cdot 7}+\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{4}\sqrt{7}+\sqrt{9}\sqrt{7}=2\sqrt{7}+3\sqrt{7}=(2+3)\sqrt{7}=5\sqrt{7}.$ Ideasta, että kummatkin juurrettavat ovat jaollisia luvulla $7$ (1 p.) Vastauksesta (1 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: