Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAA3-kurssin itsearviointiin.
Tehtävässä keskitytään yhdenmuotoisuuteen sekä kulmien suuruuksien määrittämiseen. Muista perustella vastauksesi.
a) Määritä kulmien $\beta, \delta$ ja $\gamma$ suuruudet, jos $\alpha=53^{\circ}$ ja suorat $s$ ja $t$ ovat yhdensuuntaiset. (1 p.)
b) Määritä sivun $DE$ pituus, kun janat $AB$ ja $DE$ ovat yhdensuuntaiset. (3 p.)
c) Määritä kulmien $\alpha$ ja $\beta$ suuruudet, kun janat $AB$ ja $DE$ ovat yhdensuuntaiset. (2 p.)
a) Yksi kulma oikein perusteluineen (0,5 p.), loput kulmat oikein perusteluineen (0,5 p.)
$\delta=\alpha=53^{\circ}$ ristikulmina,
$\gamma=\alpha=53^{\circ}$ samankohtaisina kulmina,
$\beta+\alpha=180^{\circ}$ vieruskulmina, joten $\beta=180^{\circ}-53^{\circ}=127^{\circ}$.
b) Kolmiot $ABC$ ja $DEC$ ovat yhdenmuotoiset kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseen kk mukaan, koska kulma $\angle C$ on yhteinen ja kulmat $\angle BAC$ ja $\angle EDC$ ovat yhtä suuret samankohtaisina kulmina. (1 p.) Merkitään janan $DE$ pituutta kirjaimella $x$. Vastinsivujen pituuksien suhde on siis vakio, joten saadaan verrantoyhtälö
\(\begin{align*} \dfrac{|AB|}{|DE|}&=\dfrac{|BC|}{|EC|}\\ \dfrac{6}{x}&=\dfrac{\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\\ \dfrac{6}{x}&=\dfrac{4}{\frac{3}{2}}. \end{align*}\) Verrantoyhtälöstä (1 p.)
Muokkaamalla yhtälöä saadaan $4x=9$, josta $x=\dfrac{9}{4}$. (1 p.)
c) Yksi kulma oikein perusteluineen (1 p.), toinen kulma oikein perusteluineen (1 p.)
$\alpha=40^{\circ}$ samankohtaisina kulmina,
Kulma $\angle CBA=180^{\circ}-40^{\circ}-65^{\circ}=75^{\circ}$ kolmion kulmien summana, ja kulma $\angle DBA=75^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$. Kulma $\beta$ saadaan kolmion $ABD$ kulmien summasta, eli $\beta=180^{\circ}-40^{\circ}-45^{\circ}=95^{\circ}$.
a) Ratkaise suorakulmaisen kolmion sivun pituus $x$ sekä kulmat $\alpha$ ja $\beta$ asteen tarkkuudella.
b) Tasakylkisen kolmion huippukulma on 30 astetta ja kannan pituus 4 cm. Laske kolmion pinta-ala.
a) Pythagoraan lauseella saadaan
\(\begin{align*} x^2+3^2&=5^2\\ x^2&=25-9\\ x^2&=16\\ x&=\pm \sqrt{16} \qquad ||\ x>0\\ x&=4. \end{align*}\) (1 p. (Yhtälö oikein 0,5 p., vastaus 0,5 p.))
Suorakulmaisen kolmion trigonometristen suhteiden avulla saadaan selvitettyä kulmat. Esimerkiksi
$\sin \alpha=\frac{3}{5}$, josta $\alpha=36{,}86\ldots^{\circ}\approx 37^{\circ}$. (1 p.)
Kulma $\beta$ saadaan joko kolmion kulmien summalla tai esim.
$\cos \beta=\frac{3}{5}$, josta $\beta=53{,}13\ldots\approx 53^{\circ}$. (1 p.)
b) Hahmotellaan kuva.
Vaihtoehtoja ratkaisulle on monia. Kolmion pinta-ala voidaan laskea joko kaavalla $A=\frac{\text{kanta}\cdot \text{korkeus}}{2}$ tai kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin avulla, eli kaavalla $A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$. Jos käyttää ensimmäistä vaihtoehtoa, niin tällöin pitää selvittää kuvasta $h$, kun taas jälkimmäisessä vaihtoehdossa pitää selvittää $x$.
Vaihtoehto 1: Selvitetään $h$. Korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan, eli saadaan kuvan suorakulmainen kolmio $ADC$. (1 p.) Suorakulmaisen kolmion trigonometristen suhteiden avulla saadaan yhtälö $\tan 15^{\circ}=\frac{2}{h}$, josta ratkaisemalla $h$ saadaan $h=\frac{2}{\tan 15^{\circ}}=4+2\sqrt{3}=7{,}46\ldots$ (cm). (1 p.)
Kolmion $ABC$ pinta-ala on $A=\frac{4\cdot (4+2\sqrt{3}) }{2}=8+4\sqrt{3}=14{,}92\ldots \approx 15$ $\left(\text{cm}^2\right)$. (1 p.)
Vaihtoehto 2: Selvitetään $x$. Korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan, eli saadaan kuvan suorakulmainen kolmio $ADC$. (1 p.) Kolmiosta $ADC$ saadaan yhtälö $\sin 15^{\circ}=\frac{2}{x}$, josta $x=\frac{2}{\sin 15^{\circ}}=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}=7{,}72\ldots$ (cm). (1 p.)
Kolmion pinta-ala on $A=\frac{1}{2}\cdot 7{,}72\ldots\cdot 7{,}72\ldots\cdot \sin 30^{\circ}=14{,}92\ldots\approx 15$ $\left( \text{cm}^2\right)$. (1 p.)
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 15 cm$^2$.
a) Kolmion kahden sivun pituudet ovat 5,1 cm ja 6,4 cm sekä näiden välinen kulma on 40 astetta. Laske kolmannen sivun pituus.
b)Piirrä koordinaatistoon origokeskinen puoliympyrä, jonka säde on yksi. Piirrä siihen kaikki kulmat väliltä $0^{\circ}\leq \alpha \leq 180^{\circ}$, jotka toteuttavat ehdon $\sin \alpha = 0{,}6$.
c) Anna esimerkki kolmioon liittyvästä tehtävänannosta, jossa saatetaan tarvita tietoa $\sin \alpha=\sin (180^{\circ}-\alpha)$.
a) Hahmotellaan kuva.
Kosinilauseella saadaan
\(\begin{align*} x^2&=5{,}1^2+6{,}4^2-2\cdot5{,}1\cdot 6{,4}\cdot \cos 40^{\circ}\\ x^2&=16{,}962\ldots\\ x&=\pm \sqrt{16{,}962\ldots}=\pm4{,}118\ldots \qquad || \ x>0\\ x&\approx 4{,}1 \text{ (cm).} \end{align*}\) Yhtälö oikein (1 p.), vastaus (1 p.)
Vastaus: Kolmannen sivun pituus on 4,1 cm.
b) Piirretään kuva. Kulman sini on yksikköympyrän kehäpisteen $y$-koordinaatti, joten etsitään ne kehäpisteet, joiden $y$-koordinaatti on $0{,6}$. (1 p.)
(1 p.)
c) Tietoa, että kulman ja suplementtikulman sinit ovat yhtä suuret, eli tehtävänannon kaavaa tarvitaan sellaisissa tehtävissä, joissa ratkaistaan kulmaa sinilauseella. Toisin sanoen kolmiosta on annettu kaksi sivua ja toisen vastainen kulma. Tällaisissa tehtävissä pitää olla tarkkana, voiko ehdot täyttäviä kolmioita olla kaksi, eli kelpaako ratkaisuksi sekä terävä että tylppä kulma. Tämä selviää lukemalla tehtävänanto uudelleen ja toisaalta miettimällä, mitä tarkoittaisi, että kolmiossa olisi esimerkiksi kaksi tylppää kulmaa. (Sinilause ja kulman selvittäminen järkevästi omin sanoin tehtävänannossa ilmaistuna 2 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: