Paraabeli ja muita pistejoukkoja

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi-sivuston kurssin MAA5 itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Muodosta yhtälö paraabelille, jonka

a) polttopiste on $(2,3)$ ja johtosuora $x=4$

b) huippu on $(1,-2)$, on ylöspäin aukeava ja joka kulkee origon kautta.

Pisteytysohje: 

a) Paraabelin muodostavat ne pisteet, joiden etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta ovat yhtä suuret. Merkitään paraabelin pistettä $(x,y)$. Tämän etäisyys polttopisteestä $(2,3)$ on $$\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}$$ ja johtosuorasta $$|x-4|.$$Merkitsemällä etäisyydet yhtä suuriksi saadaan yhtälö $\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=|x-4|$ (1 p.). Sievennetään yhtälöä. \( \begin{align*} \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=|x-4|\\ \left(\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}\right)^2&=|x-4|^2\\ (x-2)^2+(y-3)^2&=(x-4)^2\\ x^2-4x+4+y^2-6y+9&=x^2-8x+16\\ 4x&=-y^2+6y+3\\ x&=-\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}. \end{align*}\)

(Sulut aukaistu oikein (1 p.), vastaus (1 p.))

Paraabeli on vasemmalle päin aukeava ja näyttää seuraavalta:

b) Ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö on muotoa $y=ax^2+bx+c$, jossa $a>0$. Koska vakioita on kolme kappaletta, tarvitaan paraabelilta kolme pistettä, jotta yhtälö saadaan muodostettua. Hahmotellaan kuva.

Koska huippu on pisteessä $(1,-2)$, niin paraabelin akseli on suora $x=1$. Näin ollen paraabeli on symmetrinen tämän suoran suhteen. Symmetrian nojalla tiedetään, että myös piste $(2,0)$ on paraabelilla. (1 p.) Nyt on olemassa kolme tunnettua pistettä, joten sijoitetaan ne paraabelin yhtälöön ja ratkaistaan muodostuva yhtälöryhmä. Saadaan

\(\begin{cases} -2&=a \cdot 1^2+b\cdot 1+c\\ 0&=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\ 0&=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \end{cases}\)

(1 p.)

joka sievenee muotoon

\(\begin{cases} a+b+c&=-2\\ c&=0\\ 4a+2b+c&=0. \end{cases} \)

Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan käsin tai teknisen apuvälineen avulla $a=2, b=-4$ ja $c=0$. Paraabelin yhtälö on siis $y=2x^2-4x$. (1 p.)

Huom. Tehtävän olisi voinut ratkaista myös huippumuotoisen yhtälön avulla.

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tutkitaan pistejoukkoa, jonka yhtälö on $(y-3x)(y+x)=0$.

a) Tutki, kuuluuko piste $(-1,2)$ pistejoukkoon eli onko piste $(-1,2)$ käyrällä $(y-3x)(y+x)=0$.

b) Hahmottele käsin koordinaatistoon niiden pisteiden joukko, jotka toteuttavat yhtälön $(y-3x)(y+x)=0$ eli hahmottele käyrän $(y-3x)(y+x)=0$ kuva. 

Pisteytysohje: 

a) Piste kuuluu pistejoukkon, jos vain jos pisteen koordinaatit toteuttavat pistejoukon yhtälön. Sijoitetaan pisteen $(-1,2)$ koordinaatit yhtälön vasemmalle puolelle. Saadaan $(2-3\cdot (-1))(2-1)=5\cdot 1=5$. Yhtälön oikea puoli on $0$ ja koska $5\neq 0$, niin piste ei kuulu pistejoukkoon. (Sijoitus yhtälöön (1 p.), ratkaisu ja päätelmä oikein 2 p.)

b) Pistejoukkoon kuuluvat ne koordinaatiston pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $(y-3x)(y+x)=0$. Kyseinen yhtälö on tulon nollasäännön nojalla tosi silloin, kun $y-3x=0$ tai $y+x=0$. (1 p.) Nämä ovat tosia silloin, kun $y=3x$ tai $y=-x$. Pistejoukkoon kuuluvat siis suorien $y=3x$ ja y=-x pisteet. (1 p.)

(1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: