Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi-sivuston MAA5-kurssin itsearviointiin.
Ratkaise yhtälö $|x-3|=|x+5|$ vähintään kahdella eri tavalla.
Yhtälön $|x-3|=|x+5|$ voi ratkaista itseisarvon määritelmän avulla, etäisyystulkinnalla tai korottamalla yhtälön molemmat puolet toiseen.
Itseisarvon määritelmän nojalla yhtälö $|x-3|=|x+5|$ on tosi silloin, kun
\(\begin{align*} x-3&=x+5 \text{ tai }x-3=-(x+5).\\ -3&=5 \text{ tai }\, \, 2x=-2\\ &\text{Epätosi} \qquad x=-1. \end{align*}\)
Etäisyystulkinnassa etsitään sellaisia lukusuoran lukuja $x$, joiden etäisyys luvuista $3$ ja $-5$ ovat yhtä suuret. Lukusuoran avulla päätellään, että $x=-1$ on ainoa ratkaisu.
Korottamalla molemmat puolet yhtälöstä toiseen saadaan
\(\begin{align*} |x-3|^2&=|x+5|^2\\ (x-3)^2&=(x+5)^2\\ x^2-6x+9&=x^2+10x+25\\ -16x&=16\\ x&=-1. \end{align*}\)
Tarkistetaan, onko $x=-1$ yhtälön ratkaisu. Yhtälön vasemmaksi puoleksi saadaan $|-1-3|=|-4|=4$ ja oikeaksi puoleksi $|-1+5|=|4|=4$, joten $x=-1$ on yhtälön ratkaisu.
(Yksi menetelmä oikein (3 p.), toinen menetelmä oikein (3 p.))
Ratkaise epäyhtälö $|x-4|>1$
a) etäisyystulkinnalla lukusuoralla
b) purkamalla itseisarvot epäyhtälöstä pois.
a) Itseisarvoepäyhtälössä $|x-4>1|$ etsitään niitä lukusuoran lukuja $x$, joiden etäisyys luvusta $4$ on suurempi kuin $1$. (1 p.) Piirretään tämä lukusuoralle.
(1 p.)
Ratkaisu on siis $x<3$ tai $x>5$. (1 p.)
b) Itseisarvoepäyhtälössä $|x-4|>1$ lausekkeen $|x-4|$ tulee olla yli $1$. Siis itseisarvojen sisällä olevan lausekkeen $x-4$ tulee olla joko suurempi kuin $1$ tai pienempi kuin $-1$, eli $x-4>1$ tai $x-4<-1$. (2 p.)
Näiden ratkaisut ovat $x>5$ tai $x<-3$ (1 p.)
Huom. Ratkaisun pitää olla muodossa TAI, koska luku ei voi olla samaan aikaan pienempi kuin $-3$ ja suurempi kuin $5$.
Tarkastellaan käyrää $y=|2x-1|$.
a) Piirrä käsin käyrän $y=|2x-1|$ kuvaaja.
b) Ratkaise graafisesti yhtälö $|2x-1|=2x$.
c) Lausu $|2x-1|$ ilman itseisarvoja.
a) Käyrän $y=|2x-1|$ kuvaajan saa piirrettyä niin, että ensin piirtää suoran $y=2x-1$ ja peilaa $x-$akselin alapuoliset osat $x$-akselin suhteen.
(2 p.)
b) Piirretään kuvaan suora $y=2x$ ja katsotaan kuvasta, millä muuttujan $x$ arvoilla käyrät leikkaavat.
(1 p.)
Yhtälön $|2x-1|=2x$ ratkaisu graafisesti on $x\approx 0{,}2$. (1 p.)
c) Selvitetään aluksi, missä kohdassa $2x-1$ leikkaa $x$-akselin, eli milloin $2x-1=0$. Ratkaisu on $x=\frac{1}{2}$. (1 p.)
Kyseisen kohdan vasemmalla puolella $2x-1<0$ ja oikealla puolella $2x-1>0$. Näin ollen
\(|2x-1|= \begin{cases} 2x-1, \, x\geq \frac{1}{2}\\ -(2x-1)=-2x+1, \, x< \frac{1}{2}. \end{cases}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: