Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAA6-kurssin itsearviointiin.
a) Sievennä $$\frac{3}{x}-\frac{2-x}{x}\cdot\frac{2x}{x-3}.$$
b) Määritä raja-arvo, jos se on olemassa,
$$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-8x+16}{2x^2-32}.$$
a) Sievennetään. Saadaan
$$\dfrac{3}{x}-\dfrac{2-x}{x}\cdot\frac{2x}{x-3}=\dfrac{3}{x}-\dfrac{(2-x)(2x)}{x(x-3)}=\dfrac{3}{x}-\dfrac{(2-x)\cdot 2}{x-3}, $$(1 p.)
josta saadaan
$$\dfrac{3}{x}-\dfrac{4-2x}{x-3}=\dfrac{3(x-3)}{x(x-3)}-\dfrac{x(4-2x)}{x(x-3)}$$ (1 p.)
ja edelleen
$$\dfrac{3x-9-4x+2x^2}{x(x-3)}=\dfrac{2x^2-x-9}{x^2-3x}.$$ (1 p.)
b) Lauseke $\dfrac{x^2-8x+16}{2x^2-32}$ ei ole määritelty, kun $x=4$ (tällöin nimittäjä on $2\cdot 4^2-32=0$). Yritetään siis supistaa lauseketta.
$$\frac{x^2-8x+16}{2x^2-32}=\frac{(x-4)^2}{2\left(x^2-16\right)}=\frac{(x-4)^2}{2(x+4)(x-4)}=\frac{x-4}{2x+8}.$$
(Osoittajan/nimittäjän muokkaus (1 p.), supistettu muoto (1 p.))
Raja-arvoksi saadaan $$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-8x+16}{2x^2-32}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{2x+8}=\frac{4-4}{2\cdot 4+8}=\frac{0}{16}=0.$$ (1 p.)
a) Ratkaise yhtälö $$\dfrac{x+1}{x-1}+2=\dfrac{1}{x+1}.$$
b) Ratkaise epäyhtälö $$\dfrac{x+1}{x^2-1}\geq 2.$$
a) Yhtälö on määritelty, kun $x\neq 1$ ja $x\neq -1$. (1 p.)
Muokataan yhtälöä. Saadaan
\(\begin{align*} \dfrac{x+1}{x-1}+2&=\dfrac{1}{x+1}\\ \dfrac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}&=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\ \dfrac{(x+1)^2+2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}&=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}. \end{align*}\) (Nimittäjät saatu samoiksi (1 p.))
Yhtälö on tosi, kun osoittajat ovat yhtä suuret. Saadaan yhtälö
\(\begin{align*} (x+1)^2+2(x+1)(x-1)&=x-1\\ x^2+2x+1+2x^2-2&=x-1\\ 3x^2+x&=0\\ x(3x+1)&=0\\ x&=0 \text{ tai }x=-\dfrac{1}{3}. \end{align*}\)
Molemmat toteuttavat määrittelyehdon,joten ratkaisu on $x=0$ tai $x=-\dfrac{1}{3}$. (1 p.)
b) Epäyhtälö $\dfrac{x+1}{x^2-1}\geq 2$ on määritelty, kun $x\neq\pm1$. Muokataan epäyhtälöä.
\(\begin{align*} \dfrac{x+1}{x^2-1}&\geq 2\\ \dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}&\geq 2\\ \dfrac{1}{x-1}-2&\geq0\\ \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2(x-1)}{x-1}&\geq 0\\ \dfrac{1-2x+2}{x-1}&\geq 0\\ \dfrac{-2x+3}{x-1}&\geq 0. \end{align*}\) (1 p.)
Ratkaistaan lausekkeen $\dfrac{-2x+3}{x-1}$ nollakohdat. Lauseke saa arvon nolla, kun osoittaja on nolla. Saadaan yhtälö $$-2x+3=0,$$ josta $x=\dfrac{3}{2}$.
Laaditaan merkkikaavio. Siihen merkitään määrittelyehdot katkoviivalla ja nollakohdat jatkuvalla pystyviivalla.
Saadaan
(Merkkikaavio (1 p.))
Luetaan merkkikaaviosta vastaus. Haluttiin, että $\dfrac{-2x+3}{x-1}\geq 0$, joten vastaus on $1<x\leq \frac{3}{2}$. (1 p.)
Vastaus: $1<x\leq \frac{3}{2}$.
Tarkastellaan funktiota $f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2-x-6}$.
a) Missä kohdissa funktio ei ole määritelty?
b) Piirrä laskinohjelmistolla funktion $f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2-x-6}$ kuvaaja. Onko kuvan perusteella funktiolla raja-arvo nimittäjän nollakohdissa?
c) Selitä, miten pelkästä funktion lausekkeesta voi päätellä saman johtopäätöksen raja-arvojen olemassaolosta kuin katsomalla kuvaajaa.
a) Funktio ei ole määritelty nimittäjän nollakohdissa, (1 p.)
jotka saadaan yhtälöstä $x^2-x-6=0$. Ratkaisut ovat (esim. laskinohjelmistolla tai 2. asteen yhtälön ratkaisukaavalla) $x=-2$ ja $x=3$. Funktio ei ole määritelty, kun $x=-2$ tai $x=3$. (1 p.)
b) Piirretään funktion kuvaaja.
Kuvaajan perusteella funktiolla on raja-arvo kohdassa $x=-2$ (1 p.) koska lähestyttäessä kohtaa $x=2$ kummaltakin puolelta funktion arvot menevät kohti samaa lukua. Sen sijaan kohdassa $x=3$ funktiolla ei näyttäisi olevan raja-arvoa (1 p.) koska funktion arvot toisesta suunnasta lähestyttäessä kasvavat ja toisesta vähenevät rajatta.
c) Raja-arvojen olemassaolon voi päätellä suoraan lausekkeesta supistamalla lauseketta. (1 p.) Supistuksen jälkeen funktion lauseke saa muodon $\frac{3x-6}{x-3}$, jolloin raja-arvon pystyy laskemaan kohdassa $x=-2$. Sen sijaan kohdassa $x=3$ raja-arvo ei ole olemassa, koska se on edelleen nimittäjän nollakohta. (1 p.)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: