Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAA6-kurssin itsearviointiin.
a) Määritä f′(2) derivaatan määritelmän avulla, kun f(x)=2x−1.
b) Tehtävänä oli tutkia funktion f(x) derivoituvuutta kohdassa x=1, kun f(x)={−x+2,x≤1x2−11−x,x>1. Opiskelija A laski erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvon kohdassa x=1 ja sai
lim
Koska lauseke \dfrac{-x-2}{x-1} ei supistu, niin oikeanpuoleista erotusosamäärän raja-arvoa ei ole olemassa ja näin ollen f(x) ei ole derivoituva kohdassa x=1.
Opiskelija B tarkasteli funktion f(x) jatkuvuutta ja sai
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 1-} f(x)&=\lim_{x\rightarrow 1-} (-x+2)=-1+2=1 \text{ ja}\\ \lim_{x\rightarrow 1+}f(x)&=\lim_{x\rightarrow 1+} \dfrac{x^2-1}{1-x}=\lim_{x\rightarrow 1+}\dfrac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}=\lim_{x\rightarrow 1+}\dfrac{x+1}{-1}=\lim_{x\rightarrow 1+}(-x-1)=-1-1=-2. \end{align*}
Koska vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa x=1 eli funktio ei voi olla jatkuva kohdassa x=1. Näin ollen funktio ei ole derivoituva kohdassa x=1.
Oliko opiskelijoiden johtopäätökset oikeita? Olivatko heidän perustelunsa oikein?
a) Määritetään erotusosamäärän raja-arvo kohdassa x=2.
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{(2x-1)-(2\cdot 2-1)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}=\dfrac{2x-1-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{2(x-2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(2)=2. \end{align*}
(Erotusosamäärä oikein muodostettu (1 p.), lauseke supistettu (1 p.), vastaus (1 p.))
Siis f'(2)=2.
b) Kummankin opiskelijan johtopäätökset olivat oikeat. (1 p.)
Opiskelija A oli oikeassa, koska derivoituvuutta tutkitaan erotusosamäärän raja-arvon avulla ja raja-arvoa ei ollut ko. tehtävässä olemassa. (1 p.)
Opiskelija B oli oikeassa, koska vain jatkuva funktio voi olla derivoituva. (Teoreema 3 (Jos funktio on derivoituva kohdassa a, niin funktio on jatkuva kohdassa a) on yhtäpitävä teoreeman "Jos funktio ei ole jatkuva kohdassa a, niin funktio ei ole derivoituva kohdassa a" kanssa.) (1 p.)
Derivoi ja määritä derivaattafunktion arvo kohdassa $x=-1$.
a) $f(x)=x^5$
b) $g(x)=x^3+x$
c) $h(x)=2x^4-\frac{1}{3}x^3+2$.
a) $f(x)=5x^4$ (1 p.), joten $f'(-1)=5\cdot (-1)^4=5$. (1 p.)
b) $g(x)=3x^2+1$ (1 p.), joten $g'(-1)=3\cdot (-1)^2+1=4$. (1 p.)
c) $h'(x)=2\cdot 4x^3-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+0=8x^3-x^2$ (1 p.), joten $h'(-1)=8\cdot (-1)^3-(-1)^2=-8-1=-9$. (1 p.)
Tarkastellaan käyrää $y=-x^3+5x-1$.
a) Käyrälle piirretään tangentti kohtaan $x=1$. Määritä tangentin yhtälö.
b) Määritä kohdat, johon piirretyt tangentit ovat yhdensuuntaisia a)-kohdan tangentin kanssa.
a) Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kohdassa $x=1$.
$y'=-3x^2+5$, josta $y'(1)=-3\cdot1^2+5=2$. (1 p.)
Selvitetään vielä, mikä on $y$-koordinaatti, kun $x=1$. $y=-1^3+5\cdot1-1=3$. (1 p.)
Tangentin yhtälöksi saadaan
\(\begin{align*} y-3&=2(x-1)\\ y-3&=2x-2\\ y&=2x-2+3=2x+1 \end{align*}\) (1 p.)
b) Selvitetään, millä muuttujan $x$ arvoilla y'(x)=2. (1 p.)
Saadaan yhtälö $-3x^2+5=2$, josta $-3x^2=-3$ ja $x^2=1$. Yhtälö on tosi, kun $x=1$ tai $x=-1$. (1 p.)
Siis kohtaan $x=-1$ piirretty tangentti on yhdensuuntainen kohtaan $x=1$ piirretyn tangentin kanssa. (1 p.)
Alla vielä kuva tilanteesta.
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: