MAA6: Derivointisääntöjä II

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAA6-kurssin itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

a) Derivoi ja sievennä derivaatan lauseke, kun $f(x)=(2x-1)(3x^3-4x)$

b) Derivoi $g(x)=(3x^2-1)^5$.

c) Derivoi ja sievennä derivaatan lauseke, kun $h(x)=\dfrac{x^2-4x}{3x-1}$.

Pisteytysohje: 

a) $f'(x)=2(3x^3-4x)+(2x-1)(3\cdot3x^2-4)$ (1 p.) joka sievenee muotoon $f'(x)=6x^3-8x+18x^3-8x-9x^2+4=24x^3-9x^2-16x+4$. (1 p.)

b) $g'(x)=5(3x^2-1)^4\cdot D(3x^2-1)$ (1 p.), josta $g'(x)=5(3x^2-1)^4\cdot(6x)=30x(3x^2-1)^4$ (1 p.)

c) $h'(x)=\dfrac{(2x-4)(3x-1)-(x^2-4x)(3)}{(3x-1)^2}$, (1 p.) joka sievenee muotoon $h'(x)=\dfrac{6x^2-14x+4-3x^2+12x}{(3x-1)^2}=\dfrac{3x^2-2x+4}{(3x-1)^2}$ (1 p.)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Osoita, että funktio $f(x)=\dfrac{4x+2}{x+1}$ on aidosti monotoninen. 

Pisteytysohje: 

Funktio $f(x)$ on määritelty, kun $x+1\neq 0$, eli $x\neq -1$. (1 p.) Tehtävässä tulee osoittaa, että funktio on määrittelyjoukossaan aidosti kasvava tai aidosti vähenevä, eli derivaatta on aidosti positiivinen tai negatiivinen kaikiilla $x\neq -1$. 

Määritetään derivaatta ja sen nollakohdat. 

$f'(x)=\dfrac{4(x+1)-(4x+2)\cdot 1}{(x+1)^2}=\dfrac{4x+4-4x-2}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}$. (1 p.)

Koska osamäärä on nolla vain, kun osoittaja on nolla, niin derivaatalla ei ole nollakohtia. (1 p.)

Koska osoittaja on $2>0$ (1 p.) ja nimittäjä $(x+1)^2>0$ kaikilla $x\neq -1$ lausekkeen neliönä (1 p.), niin $f'(x)>0$ kaikilla $x\neq -1$ ja näin ollen $f(x)$ on aidosti kasvava, eli aidosti monotoninen kaikilla $x\neq -1$. (1 p.)

Huom. Aidosti kasvavuuden olisi voinut osoittaa myös merkki- ja kulkukaavion testispisteillä. Huomaa, että tällöin kohta $x=-1$ olisi pitänyt olla katkoviivalla mukana kaaviossa. 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: