Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAA8-kurssin itsearviointiin.
a) Ohessa on eräiden eksponenttifunktioiden $f(x), g(x)$ ja $k(x)$ kuvaajat. Liitä jokaiseen kuvaajaan sopiva lauseke alta.
- $\left(\frac{1}{2}\right)^x$
- $3^x$
- $\left( \frac{1}{10} \right)^x$
- $2^x$
- $6^x$
b) Määritä vakio $k$ siten, että funktio $f(x)=(2-5k)^x$ on aidosti vähenevä.
a) $f(x)=\left( \frac{1}{10} \right)^x$ (1 p.), $g(x)=3^x$ (1 p.) ja $k(x)=6^x$ (1 p.). Sopivan vaihtoehdon löytää esimerkiksi päättelemällä alkuun, onko kantaluku alle 1 vai yli 1 ja tämän jälkeen tutkimalla funktion arvoa joko kohdassa $x=-1$ tai $x=1$.
b) Eksponenttifunktio on määritelty, kun kantaluku on positiivinen. Eksponenttifunktio on aidosti vähenevä, kun kantaluku alle yksi, joten yhdistämällä ehdot saadaan, että kantaluvun pitää olla ukujen nolla ja yksi välissä. (1 p.) Saadaan kaksoisepäyhtälö $0<2-5k<1$, jonka voi ratkaista joko ratkaisemalla erikseen epäyhtälöt $2-5k>0$ ja $2-5k<1$ ja lopuksi katsomalla, milloin kummatkin epäyhtälöt ovat tosia, tai sitten kerralla seuraavasti:
\(\begin{align*} 0&<2-5k<1\qquad || -2\\ -2&<-5k<-1 \qquad ||:(-5)<0\\ \frac{2}{5}&>k>\frac{1}{5} \end{align*}\) (2 p.)
Siis vakion $k$ arvoilla $\frac{1}{5}<k<\frac{2}{5}$ funktio on aidosti vähenevä.
a) Ratkaise yhtälö $3e^{2x}=9$ tarkkana arvona sekä kahden desimaalin likiarvona.
b) Määritä $f'(0)$, kun $f(x)=e^{3x-1}$.
a)
\(\begin{align*} 3e^{2x}&=9 \qquad ||:3\\ e^{2x}&=3 \\ 2x&=\ln 3 \quad ||:2\\ x&=\frac{\ln 3}{2}=0{,}549\ldots\approx 0{,}55. \end{align*}\)
(Muodosta $2x=\ln 3$ (1 p.), tarkasta arvosta $x=\frac{\ln 3}{2}$ (1 p.) ja likiarvosta $0{,}55$ (1 p.))
b) Derivoidaan $f(x)$.
$f'(x)=e^{3x-1}\cdot 3=3e^{3x-1}$. (1 p.)
Lasketaan $f'(0)$.
$f'(0)=3e^{3\cdot 0-1}$ (1 p.) joka sievenee muotoon $f'(0)=3e^{-1}=3\cdot \frac{1}{e}=\frac{3}{e}$. (1 p.)
YK ennusti vuonna 2015, että Afrikan väkiluku nelinkertaistuisi vuosisadan loppuun mennessä 4,4 miljardiin ihmiseen. Oletetaan, että kasvu on eksponentiaalista.
a) Mikä oli Afrikan väkiluku vuonna 2015?
b) Mikä olisi Afrikan väkiluku vuonna 2050?
c) Millä nopeudella Afrikan väkiluku kasvaisi vuonna 2050?
a) Koska väkiluku nelinkertaistuu vuodesta 2015 vuoteen 2100, jolloin se on 4,4 miljardia, on vuoden 2015 väkiluku neljäsosa tuosta eli $\frac{4{,}4\cdot 10^9}{4}=1{,}1\cdot 10^{9}$ eli 1,1 miljardia. (2 p.)
b) Koska Afrikan väkiluku nelinkertaistuu 85 vuodessa, niin Afrikan väkiluku ennusteen mukaan noudattaa mallia $f(t)=1{,}1\cdot 10^9\cdot 4^{t/85}$ (1 p.), missä $t$ on aika vuosina v. 2015 alkaen ja $1{,}1\cdot 10^9$ on vuoden 2015 väkiluku. Vuoden 2050 väkiluku saadaan funktion arvosta ajanhetkellä $t=35$.
$f(35)=1{,}1\cdot 10^9\cdot 4^{35/85}=1{,}9467\ldots\cdot 10^9 $ eli väkiluku on noin 1,9 miljardia. (1 p.)
c) Väkiluvun kasvunopeus saadaan derivaatasta. $f'(t)=1{,}1\cdot 10^{9}\cdot 4^{t/85}\cdot \ln 4\cdot \frac{1}{85}=\frac{\ln 4}{85}\cdot 1{,}1\cdot 10^9\cdot 4^{t/85}(=17940297{,}967\ldots\cdot 4^{t/85})$. (1 p.)
Kasvunopeus vuonna 2050 on $f'(35)=\frac{\ln 4}{85}\cdot 1{,}1\cdot 10^9\cdot 4^{35/85}=31749454{,}7\ldots\approx32000000$ (1 p.) eli väkiluku kasvaa noin 32 miljoonalla vuodessa.
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: