MAB2: Ensimmäisen asteen yhtälö

Testi on tarkoitettu kisallioppiminen.fi -sivuston MAB2-kurssin itsearviointiin.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

a) Muodosta kuvassa olevan funktion lauseke. Perustele. 

b) Funktion kuvaajalla on pisteet (0,1); (2,3) ja (3,5). Onko funktio ensimmäisen asteen polynomifunktio? Perustele.

c) Piirrä paperille funktion $f(x)=-2x+5$ kuvaaja. Selitä, miten ratkaisit tehtävän. 

Pisteytysohje: 

a) Koska kuvaaja on suora, kyseessä on ensimmäisen asteen polynomifunktio. Tällöin funktion lauseke on muotoa $f(x)=ax+b$. Koska kuvaaja leikkaa $y$-akselin pisteessä (0,-1), on kerroin $b=-1$. (1 p.) Koska $y$-koordinaatti muuttuu aina kaksi ruutua, kun $x$-koordinaatti muuttuu yhden ja suora on nouseva, on kulmakerroin $a=2$. (1 p.)

Huom. Jos perustelut puuttuvat, yhteensä -1 p.

b) Tapa 1: Piirretään pisteet koordinaatistoon. 

(1 p.)

Suora on määrätty, kun tunnetaan siltä kaksi pistettä. Kun piirtää suoran kahden ensimmäisen pisteen kautta, niin nähdään, ettei kolmas piste ole suoralla. Kyseessä ei siis ole ensimmäisen asteen polynomifunktio. (1 p.)

Tapa 2: Koska eräs piste on (0,1), niin tiedetään, että kerroin $b$ on $b=1$. Koska toinen piste on (2,3), voidaan päätellä, että kulmakerroin on 1, eli $a=1$. Tällöin funktion lauseke olisi $f(x)=x+1$. Lasketaan funktion arvo, kun $x=3$. 

$f(3)=3+1=4\neq5$ (1 p.) Huomataan, että funktion arvo on eri kuin kolmannen pisteen $y-$koordinaatti, joten kyseessä ei voi olla ensimmäisen asteen polynomifunktio. (1 p.)

c) Tapa 1:  Kuvaaja on suora. Lasketaan kuvaajalta kaksi pistettä. Esim. $f(0)=-2\cdot 0+5=5$. Siis piste (0,5) on kuvaajalla. $f(1)=-2\cdot 1+5=3$, eli piste (1,3) on kuvaajalla. (1 p.) Piirretään nämä koordinaatistoon ja yhdistetään suoralla. 

(1 p.)

Tapa 2: Koska funktion lauseke on $f(x)-2x+5$, niin tiedetään, että kuvaaja leikkaa $y$-akselin pisteessä (0,5). Koska muuttujan $x$ kerroin on -2, on suora laskeva ja $y$ muuttuu aina kaksi ruutua, kun $x$ muuttuu yhden. (1 p.) Näin ollen kuvaaja on sama kuin yllä. 

 

 

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tee tämä tehtävä sähköisesti. Merkitse b-kohdassa välivaiheet näkyviin. 

a) Taksimatkan hintaa kuvaa funktio $f(x)=3,90+0,99x$, missä $x$ on ajettujen kilometrien määrä. 

Ratkaise graafisesti, kuinka monta kilometriä voi ajaa 10 eurolla.

Ratkaise laskemalla eli algebrallisesti, kuinka paljon maksaa 20 kilometrin matka taksilla. 

b) Laske polynomien $x^2+2x$ ja $2x-1$ erotus.

c) Sievennä $3x(2x^2-5)$.

Pisteytysohje: 

a)

 

b) ja c)

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Ratkaise yhtälö $2-(x+1)=3x$.

b) Ratkaise yhtälö $2-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{4}$.

c) Isoisä ei muistanut, kuinka vanhoja hänen lastenlapsensa ovat. He tekivät arvoituksen: Minä olen kaksi kertaa niin vanha kuin Pekka, sanoi Pipsa. Ja minä olen kolme vuotta nuorempi kuin Pipsa, mutta vuoden vanhempi kuin Pekka, sanoi Peppi. Auta isoisää ja selvitä yhtälön avulla, kuinka vanhoja lapset olivat. 

Pisteytysohje: 

a) Avataan sulut ja muokataan yhtälöä. 

$2-(x+1)=3x$

$2-x-1=3x$ (1 p.)

$-x+1=3x$ Vähennetään molemmilta puolilta 3x.

$-x-3x+1=0$ Vähennetään molemmilta puolilta 1.

$-4x=-1$ Jaetaan molemmat puolet luvulla 2.

$x=\frac{1}{4}$. (1 p.)

b)  $2-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{4}$ Kerrotaan molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä $3\cdot4=12$.

$12\cdot 2-\frac{12(x-1)}{3}=\frac{12x}{4}$ Supistetaan.

$24-4(x-1)=3x$ (1 p.) Avataan sulut ja ratkaistaan $x$.

$24-4x+4=3x$

$-4x-3x=-28$

$-7x=-28$

$x=\frac{-28}{-7}=4$. (1 p.)

c) Merkitään Pekan ikää kirjaimella $x$. Tällöin Pipsan ikä on $2x$ ja Pepin ikä $2x-3$. Toisaalta Peppi on vuoden vanhempi kuin Pekka, joten Pepin ikä on myös $x+1$. (Kaikki iät saatu lausuttua samalla kirjaimella (1 p.)

Pepin iästä saadaan yhtälö $2x-3=x+1$, jonka ratkaisu on $x=4$. 

Näin ollen Pekka on 4-vuotias, Pipsa 8-vuotias ja Peppi 5-vuotias. (1 p.)

 

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: