Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla yhtälön $y=kx+b$ kuvaajan muotoa muuttujien $k$ ja $b$ eri lukuarvoilla.
a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $k$ ja $b$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.
b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $-3=-2x+1$.
c) Määritä graafisesti lausekkeen $3x-4$ arvo, kun $x=2,\!5$.
a)
- Muotoa $y=kx+b$ olevan yhtälön kuvaaja on suora.
- Ensimmäisen asteen termin kerroin $k$ (jota kutsutaan kulmakertoimeksi) vaikuttaa suoran "jyrkkyyteen". Kun $k>0$, suora on nouseva suora, ja kun $k<0$, suora on laskeva suora. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Vakiotermi $b$ vaikuttaa siihen, millä "korkeudella" suora on. Havaitaan, että suora leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,b)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $-3=-2x+1$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx 2}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(3x-4\approx\underline{\underline{3,\!5}}\), kun $x=2,\!5$ (hyväksytään vastaus väliltä $[3,\!4;3,\!6]$). \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla yhtälön $y=ax^2+bx+c$ kuvaajan muotoa muuttujien $a$, $b$ ja $c$ eri lukuarvoilla.
a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $a$, $b$ ja $c$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.
b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $3=x^2-x+1$.
c) Määritä graafisesti lausekkeen $-2x^2+3x+5$ arvo, kun $x=-1$.
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
a)
- Muotoa $y=ax^2+bx+c$ olevan yhtälön kuvaaja on paraabeli.
- Toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa paraabelin aukeamissuuntaan. Kun $a>0$, paraabeli on ylöspäin aukeava, ja kun $a<0$, paraabeli on alaspäin aukeava. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin sekä pysty- että sivusuunnassa. Vakiotermi $c$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin vain pystysuunnassa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
- Havaitaan, että paraabeli leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,c)$.
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $3=x^2-x+1$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx -1}}\) tai \(\underline{\underline{x \approx 2}}\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(-2x^2+3x+5\approx\underline{\underline{\ 0\ }}\), kun $x=-1$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)
Ratkaise yhtälö
a) \(x^2-5x=0\)
b) \(x^2+x-2=0\)
c) \(2x^2=x+1\)
Voit tarkistaa vastauksesi alla olevan kuvaajan avulla:
(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a)}\qquad x^2-5x&=0 \\ x\cdot x - 5 \cdot x&=0 \\ x(x-5)&=0 &&||\text{ TNS = tulon nollasääntö} \\ & &&\color{red}{\text{(+1p TNS tai ratkaisukaava)}}\\ x=0 \text{ tai } &x-5=0 \\ x=0 \text{ tai } &x=5 \end{align*}\)
Vastaus: \(x=0\) tai \(x=5\). \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{b) }\ &x^2+x-2=0 & &\Big|\Big|x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & && \Big|\Big| a=1, b=1, c=-2 \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} x&=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \qquad \color{red} \text{(+1p)} \\ x&=\dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x&=\dfrac{-1 \pm 3}{2} \\ x&=\underline{\underline{-2}} \text{ tai } x=\underline{\underline{\ 1\ }} \qquad \ \ \qquad \qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} \textbf{c) } \qquad \quad2x^2&=x+1 &&|| -x -1 \\ -2x^2&+x+1=0 &&\Big|\Big|x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \ (\text{tai }\ \ 2x^2&-x-1=0) &&\Big|\Big|a=-2, b=1, c=1 \end{align*}\)
\( \require{color} \begin{align*} x&=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot (-2) \cdot 1}}{2 \cdot (-2)} && \color{red} \text{(+1p)} &&& &&&& &&&&& \\ x&=\dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{-4} \\ x&=\dfrac{-1 \pm 3}{-4}\\ x&=\underline{\underline{-\dfrac{1}{2}}} \text{ tai } x=\underline{\underline{\ 1\ }} && \color{red} \text{(+1p)} \end{align*}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: