MAA2 testi3.2

Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.

Testin aihepiiri: 
1. ja 2. asteen polynomifunktio ja yhtälö
Suositeltava osaamistaso: 
90%

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

Tutki alla olevien liukukytkimien avulla yhtälön $y=kx+b$ kuvaajan muotoa muuttujien $k$ ja $b$ eri lukuarvoilla.

a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $k$ ja $b$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.

b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $1=1,\!5x+2,\!5$.

c) Määritä graafisesti lausekkeen $-0,\!5x+4$ arvo, kun $x=4$.

 

Pisteytysohje: 

a) 

  • Muotoa $y=kx+b$ olevan yhtälön kuvaaja on suora.
  • ​Ensimmäisen asteen termin kerroin $k$ (jota kutsutaan kulmakertoimeksi) vaikuttaa suoran "jyrkkyyteen". Kun $k>0$, suora on nouseva suora, ja kun $k<0$, suora on laskeva suora. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Vakiotermi $b$ vaikuttaa siihen, millä "korkeudella" suora on. Havaitaan, että suora leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,b)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $1=1,\!5x+2,\!5$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx -1}}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)


 

c) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(-0,5x+4\approx\underline{\underline{2}}\), kun $x=4$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

Tutki alla olevien liukukytkimien avulla yhtälön $y=ax^2+bx+c$ kuvaajan muotoa muuttujien $a$, $b$ ja $c$ eri lukuarvoilla.

a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $a$, $b$ ja $c$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.

b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö $4=2x^2-0,5x-3$.

c) Määritä graafisesti lausekkeen $-x^2+2x+3$ arvo, kun $x=1$.


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

a) 

  • Muotoa $y=ax^2+bx+c$ olevan yhtälön kuvaaja on paraabeli.
  • ​Toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa paraabelin aukeamissuuntaan. Kun $a>0$, paraabeli on ylöspäin aukeava, ja kun $a<0$, paraabeli on alaspäin aukeava. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin sekä pysty- että sivusuunnassa. Vakiotermi $c$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin vain pystysuunnassa. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Havaitaan, että paraabeli leikkaa $y$-akselin aina pisteessä$(0,c)$.

b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $4=2x^2-0,5x-3$ ratkaisu on \(\underline{\underline{x \approx -1,\!8}}\) tai \(\underline{\underline{x \approx 2}}\)\(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)


 

c) Kuvaajan avulla havaitaan, että \(-x^2+2x+3\approx\underline{\underline{\ 4\ }}\), kun $x=1$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Ratkaise yhtälö
a) \(x^2+4x=0\)

b) \(3x^2-2x=1\)

c) \(-x^2=3x-4\)

Voit tarkistaa vastauksesi alla olevan kuvaajan avulla:


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

\( \require{color} \begin{align*} \textbf{a)}\qquad x^2+4x&=0 \\ x\cdot x +4 \cdot x&=0 \\ x(x+4)&=0 &&||\text{ TNS = tulon nollasääntö} \\ & &&\color{red}{\text{(+1p TNS tai ratkaisukaava)}}\\ x=0 \text{ tai } &x+4=0 \\ x=0 \text{ tai } &x=-4 \end{align*}\)

Vastaus: \(x=0\) tai \(x=-4\).       \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)


 

\( \require{color} \begin{align*} \textbf{b) }3x^2&-2x=1 &&|| -1 \\ 3x^2&-2x-1=0 &&\Big|\Big|x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \ & &&\Big|\Big|a=3, b=-2, c=-1 \end{align*}\)


\( \require{color} \begin{align*} x&=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} && \color{red} \text{(+1p)} \\\\ x&=\dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{6} =\dfrac{2 \pm 4}{6} \\\\ x&=\dfrac{6}{6}=\underline{\underline{\ 1\ }} \text{ tai } x=\dfrac{-2}{6}=\underline{\underline{-\dfrac{1}{3}}} && \color{red} \text{(+1p)} \end{align*}\)



\( \require{color} \begin{align*} \textbf{c) } \qquad \quad-x^2&=3x-4 &&|| -3x +4\\ -x^2&-3x+4=0 &&\Big|\Big|x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\& &&\Big|\Big|a=-1, b=-3, c=4 \end{align*}\)

\( \require{color} \begin{align*} x&=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot (-1) \cdot 4}}{2 \cdot (-1)} && \color{red} \text{(+1p)} \\\\ x&=\dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{-2} =\dfrac{3 \pm 5}{-2}\\\\ x&=\underline{\underline{-4}} \text{ tai } x=\underline{\underline{\ 1\ }} && \color{red} \text{(+1p)} \end{align*}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: