FY4 t1.1

Tämä testi mittaa osaamistasi tasaisen ja muuttuvan liikkeen mallin tunnistamisesssa sekä molempiin liiketiloihin liittyvien suureyhtälöiden käytössä.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Kuvassa on esitetty suoraviivaisesti liikkuvan kappaleen paikka ajan funktiona. 

Selvitä kuvaa tarkastelemalla 

a) kappaleen siirtymä aikavälillä \(0,0 \text{ s} \ldots 10 \text{ s}\)

b) kappaleen aikavälillä \(0,0 \text{ s} \ldots 12 \text{ s} \) kulkema matka.

c) kappaleen suurin nopeus.

Pisteytysohje: 

a) 

Kuvaajasta huomataan, että

\(\Delta x = x_1 - x_0 \qquad \qquad \color{Red}{\text{(+1p)}} \\ \quad \ \ = 3,0 \text{ m} - 0,0 \text{ m} \\ \quad \ \ = \underline{\underline{3,0 \text{ m}}} \qquad \ \ \qquad \color{Red}{\text{(+1p)}}\)

b) Katsojaan kuvaajasta kappaleen etenemä matka oheisilla aikaväleillä

\(0,0 \text{ s} \ldots 1,0 \text{ s},\ \ \ \quad s_1=0,0 \text{ m} \\ 1,0 \text{ s} \ldots 2,0 \text{ s},\ \ \ \quad s_2=5,0 \text{ m} \\ 2,0 \text{ s} \ldots 4,0 \text{ s}, \ \ \ \quad s_3=0,0 \text{ m} \\ 4,0 \text{ s} \ldots 6,0 \text{ s}, \ \ \ \quad s_4=6,0 \text{ m} \\ 6,0 \text{ s} \ldots 8,0 \text{ s}, \ \ \ \quad s_5=0,0 \text{ m} \\ 8,0 \text{ s} \ldots 10 \text{ s}, \ \ \ \ \ \quad s_6=4,0 \text{ m} \\ 10,0 \text{ s} \ldots 12 \text{ s}, \ \ \ \quad s_7=0,0 \text{ m} \quad \color{Red}{\text{(+1p)}}\)

Kappale etenee aikaväillä \(0,0 \text{ s} \ldots 12 \text{ s}\)yhteensä

\(s_{kok}=5,0 \text{ m} + 6,0 \text{ m} +4,0 \text{ m} = \underline{\underline{15 \text{ m}}} \quad \color{Red}{\text{(+1p)}}\)

c) Kappaleen nopeus on suurimmillaan, kun suoran fysikaalinen kulmakerroin on suurin.

Huomataan, että suoran kulmakerroin on suurin ajanjaksolla \(0,0 \text{ s} \ldots 2,0 \text{ s}\) 

\(v=\dfrac{\Delta v}{\Delta t} \qquad \qquad \color{Red}{\text{(+1p)} \color{Black}{\\ \ \ =\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}} \\ \ \ \color{Black}{= \dfrac{5,0 \text{ m} - 0,0 \text{ m}}{2,0 \text{ s } - 1,0 \text{ s } } }\\ \ \ \color{Black}{= \underline{\underline{ 5,0 \text{ m/s}}} }\qquad \qquad \color{Red}{\text{(+1p)}}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Autoa jarrutetaan 13 sekunnin ajan, jolloin sen nopeus pienenee arvosta 100 km/h arvoon 60 km/h.

Jos jarrutus tapahtuu tasaisesti, niin kuinka pitkän matkan auto etenee jarrutuksen aikana?

Pisteytysohje: 

Tapa 1.

Kirjataan lähtöarvot ylös.

\(t=13 \text{ s}, v_0 = 100 \text{ km/h}, v_1=60 \text{ km/h}\)

Lasketaan auton kiihtyvyys

\(a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t} \\ =\dfrac{v_1-v_0}{t_1-t_0} \\ =\dfrac{\frac{60}{3,6}\frac{\text{m}}{\text{s}}-\frac{100}{3,6} \frac{\text{m}}{\text{s}}}{13 \text{ s}} \)\(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(\\\approx \underline{ \underline{-0,855 \frac{\text{m}}{\text{s}}}}\)\(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Jarrutus tapahtuu tasaisesti, joten auto on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Kappaleen paikka tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä on

\(x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\)\(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Sijoitetaan paikan yhtälöön tunnetut arvot.

\(x=0,0 \text{ m}+\dfrac{100}{3,6}\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 13 \text{ s} + \dfrac{1}{2} (-0,855\frac{\text{m}}{\text{s}^2}) \cdot (13 \text{ s})^2\)\(\quad \color{red}{\text{(+2p)}}\)

\(x\approx 289 \text{ m}\)

Vastaus: Auto etenee noin 290 metriä jarrutuksen aikana. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Tapa 2.

Hahmotellaan auton nopeuden kuvaaja (t, v)-koordinaatistoon.

\(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Auton kulkema matka saadaan laskettua graafisesti integroimalla (t, v) -kuvaajan alle jäävä pinta-ala. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Kolmiota vastaava matka

\(s_{1}=\dfrac{1}{2}\cdot 13 \text{ s} \dot (\dfrac{100}{3,6} \dfrac{\text{m}}{\text{s}}-\dfrac{60}{3,6}\frac{\text{m}}{\text{s}})\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(s_1 \approx 72,2 \text{ m}\)

Suorakulmiota vastaava matka

\(s_2=\dfrac{60}{3,6} \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 13 \text{ s} \approx 216,7 \text{ m}\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Kokonaismatka

\(s_{kok}=s_1+s_2\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(s_{kok}=72,2 \text{ m} + 216,7 \text{ m}\)

\(s_{kok}\approx 289 \text{ m}\) 

Vastaus: Auto etenee noin 290 metriä jarrutuksen aikana. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 
Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tennispallo pomppaa lattiasta suoraan ylöspäin nopeudella 5,0 m/s.

Milloin pallo on 1,0 metrin korkeudella?

Pisteytysohje: 

Kirjataan lähtöarvot ylös.

\(v_0=5,0 \text{ m/s}, \ y=1,0 \text{ m}, \ g=-9,81 \text{ m/s}^2\)

Tennispallo on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä ja sen kiihtyvyys on sama kuin putoamiskiihtyvyys. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Kappaleen paikka tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä

\(y=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0t-y=0\)

Ratkaistaan paikan yhtälöstä aika \(t\) toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla.

\(t=\dfrac{-v_0 \pm \sqrt{v_o^2-4\cdot (-\frac{1}{2}g )\cdot (-y)}}{2 \cdot \frac{1}{2}g}\)\(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(t= \dfrac{-5,0 \frac{\text{m}}{\text{s}} \pm \sqrt{(5,0\frac{\text{m}}{\text{s}})^2-2 \cdot 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1,0 \text{ m}}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\)\(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(\underline{t_1 \approx 0,273 \text{ s ja } t_2 \approx 0,746 \text{ s}}\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Vastaus: Pallo on korkeudella 1,0 metriä ajanhetkillä 0,27 s ja 0,75 s. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: