Olkoon funktio $f(x)=x^2+3x-4$.
a) Laske funktion $f$ arvo, kun $x=-2$.
b) Ratkaise, millä $x$:n arvoilla $f(x)=14$.
c) Ratkaise piirtämällä, missä pisteissä $f$ leikkaa koordinaattiakselit.
b) Ratkaise laskemalla, missä pisteissä $f$ leikkaa koordinaattiakselit.
a)\(\begin{align} f(-2)&=(-2)^2+3\cdot (-2)-4\\ &= 4 - 6 - 4 \\ &=-6 \end{align}\) $\color{Red}{(+1\text{ p})}$
b) \(\begin{align} x^2+3x-4&=14\\ x^2+3x-4-14&=0\\ x^2+3x-18 &= 0 \end{align}\)
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:
\(\begin{align} x& = {-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot (-18)} \over 2\cdot 1} \\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm 9}{2} \end{align}\)
\(\begin{align} x&=\frac{-3+9}{2} \\ &=\frac{6}{2} \\ &= 3 \end{align}\) tai \(\begin{align} x&=\frac{-3-9}{2}\\ &=\frac{-12}{2} \\ &=-6 \end{align}\)
Vastaus: $x=-6$ tai $x=3$ $\color{Red}{(+1\text{ p})}$
c) Piirretään funktio $f$ koordinaatistoon ja katsotaan, missä pisteissä se leikkaa koordinaattiakselit.
Funktio $f$ leikkaa siis $x$-akselin pisteissä $(-4,0)$ ja $(1,0)$ ja $y$-akselin pisteessä $(0,4)$. $\color{Red}{(+1\text{ p})}$
d) Funktio $f(x)=x^2+3x-4$ leikkaa $x$-akselia, kun $f(x)=0$, joten ratkaistaan yhtälö
\(\begin{align} x^2+3x-4=0 \end{align}\)
\(\begin{align} x &= {-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot (-4)} \over 2\cdot 1} \\ & = {-3 \pm \sqrt{9+16}} \over 2 \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ &=\frac{-3\pm5}{2} \end{align}\)
\(\begin{align} x&=\frac{-3+5}{2} \\ &=\frac{2}{2} \\ &= 1 \end{align}\) tai \(\begin{align} x&=\frac{-3-5}{2} \\ &= \frac{-8}{2} \\ &= -4 \end{align}\)$\color{Red}{(+1\text{ p})}$
Funktio leikkaa $y$-akselin, kun $x=0$. Lasketaan siis funktion arvo, kun $x=0$:
\(\begin{align} f(0)&=0^2+3\cdot 0 -4 \\ &= 0 + 0 -4 \\ &= -4 \end{align}\)$\color{Red}{(+1\text{ p})}$
Vastaus: funktio $f$ leikkaa $x$-akselin pisteissä $(-4,0)$ ja $(1,0)$ ja $y$-akselin pisteessä $(0,4)$ $\color{Red}{(+1\text{ p})}$
a) Päättele kuvaajasta, millä muuttujan $x$ arvoilla funktio saa positiivisia arvoja.
b) Ratkaise ilman kuvaajaa, millä muuttujan arvoilla $x$ arvoilla funktio $f(x)=\frac{1}{3}x+6$ saa negatiivisia arvoja?
c) Ratkaise epäyhtälö $x^2-2x+4>3x-2$.
a) Funktion kuvaaja on $x$-akselin yläpuolella
kun $-2<x<0$ ja kun $x>2$. $\color{Red}{(+1 \text{ p / oikea väli})}$
b)\(\begin{align} \frac{1}{3}x+6&<0 \\ \frac{1}{3}x&<-6 \qquad ||\cdot 3 \\ x&<-18 \end{align}\) $\color{Red}{(+1 \text{ p})}$
c) \(\begin{align} x^2-2x+4&>3x-2 \\ x^2-2x-3x+4+2&>0 \\ x^2-5x+6&>0 \\ x^2-5x+6&=0 \end{align}\)$\color{Red}{(+1\text{ p})}$
\(\begin{align} x&=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}\\ &=\frac{5 \pm \sqrt{25 -24}}{2} \\ &= \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}\\ &= \frac{5\pm1}{2} \end{align}\)
\(\begin{align} x&=\frac{5+1}{2}\\ &=\frac{6}{2} \\ &=3 \end{align}\) tai \(\begin{align} x &= \frac{5-1}{2} \\ &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \end{align}\)
$\color{Red}{(+1 \text{ p})}$
(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)
Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kuvaajan muotoa muuttujien $a$, $b$ ja $c$ eri lukuarvoilla.
a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $a$, $b$ ja $c$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.
b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö \(3=x^2−x+1\).
c) Määritä graafisesti $f(−1)$, kun \(f(x)=−2x^2+3x+5\).
a)
- Muotoa $f(x)=ax^2+bx+c$ olevan funktion kuvaaja on paraabeli.
- Toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa paraabelin aukeamissuuntaan. Kun $a>0$, paraabeli on ylöspäin aukeava, ja kun $a<0$, paraabeli on alaspäin aukeava. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin sekä pysty- että sivusuunnassa. Vakiotermi $c$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin vain pystysuunnassa. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
- Havaitaan, että paraabeli leikkaa $y$-akselin aina pisteessä $(0,c)$.
b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $3=x^2−x+1$ ratkaisu on \(x\approx-1\)tai \(x\approx2\). \(\require{color}\color{red}\text{(+2p)}\)
c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=−2x^2+3x+5$ arvo \(f(-1)\approx0\). \(\require{color}\color{red}\text{(+2p)}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: