Täm testi mittaa osaamistasi Newtonin lakien, voimien komponenttien sekä liikeyhtälön käytössä.
Kuinka suurella voimalla hissin lattia tukee matkustajaa, jonka massa on \(\text{80 kg}\), kun hissi liikkuu kiihtyvyydellä 1,6 \(\text{m/s}^2\)alaspäin?
Kirjataan lähtöarvot \(m=80 \text{ kg}, \ a=1,6 \text{ m/s}^2, \ g=9,81 \text{ m/s}^2\)
Piirretään kuva tilanteesta, johon merkitään matkustajaan vaikuttavat voimat ja valitaan positiiviseksi tarkastelusuunnaksi suunta alas.
\(\require{color}\color{red}{\text{Kuvasta (+1p)}}\)
Koska matkustaja on kiihtyvässä liikkeessä alaspäin, niin matkustajaan kohdistuva kokonaisvoima on alaspäin.
Dynamiikan peruslain mukaan
\(\sum \overline{F}=m\overline{a}\) \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(\overline{G}+\overline{N}=m\overline{a}\) \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(G-N=ma\)
\(N=G-ma\)
\(N=mg-ma\) \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(N=m(g-a)\)
\(N=80 \text{ kg} (9,81 \text{ m/s}^2-1,6 \text{ m/s}^2)\) \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(N \approx 657 \text{ N}\)
Vastaus: Matkustajaan kohdistuva tukivoima on noin 660 N \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Kelkkaa, jonka massa on 15 kg, vedetään jäällä kuvan mukaisesti 20 N voimalla.
a) Piirrä ja nimeä kelkkaan vaikuttavat voimat. (2p)
b) Laske kelkan kiihtyvyys. (4p)
a) Piirretään kappaleeseen vaikuttavat voimat.
\( \color{red}{\text{(Kuvasta +1p)}}\)
F on kelkkaa vetävä voima.
G on kelkkaan kohdistuva paino \(\quad \color{red}{(+\frac{1}{2}\text{p})}\)
N on jään kelkkaan kohdistama tukivoima. \(\quad \color{red}{(+\frac{1}{2}\text{p})}\)
b) Kirjataan lähtöarvot \(m=15 \text{ kg}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2, \ F=20 \text{ N}\)
Jaetaan vetävä voima x- ja y-suuntaisiin komponentteihin.
Kelkka ei ole liikkeessä y-suunnassa, joten
\(\sum \overline{F}_y=\overline{0} \)
\(\overline{G}+\overline{N}+\overline{F}_y=\overline{0}\)
\(N+F_y-G=0\).
Kelkalla on kiihtyvyyttä x-suunnassa, joten dynamiikan peruslain mukaan \(\sum \overline{F}_x=m\overline{a}\) \( \color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(F_x=ma\)
\(F \cos \alpha = ma\) \( \color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(a=\dfrac{F \cos \alpha}{m}\)
\(a=\dfrac{20 \text{ N} \cos 20^{\circ}}{15 \text{ kg}}\)\( \color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(a\approx 1,25 \text{ m/s}^2\)
Vastaus: Kelkan kiihtyvyys on noin \(1,3 \text{ m/s}^2 \) ja suunta oikealle.\( \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Vaakasuoralla alustalla on kaksi toisiinsa kytkettyä kappaletta, joita vedetään oikealle 100 N voimalla.
Kappaleiden ja tason välinen liukukitkakerroin on 0,20.
Vasemmanpuoleisen kappaleen massa on 20 kg ja oikeanpuoleisen kappaleen massa on 7,5 kg.
Laske systeemin kiihtyvyys.
Kirjataan lähtöarvot ylös \(m_1=20 \text{ kg}, \ m_2=7,5 \text{ kg}, F=100 \text{ N},\ \mu = 0,20\)
Piirretään kuva tilanteesta, johon merkitään kappaleisiin vaikuttavat voimat ja
sovitaan suunnat oikealle ja ylöspäin positiivisiksi.
\(\color{red}{\text{(Kuvasta +1p)}}\)
Koska systeemin sisäiset voimat eivät voi muuttaa systeemin liiketilaan, niin langan jännitysvoimia
ei tarvitse ottaa huomioon liikeyhtälöä muodostaessa.
Jaetaan voimatarkastelu x- ja y-suuntiin.
Kappaleet eivät ole liikkeessä pystysuunnassa, joten dynamiikan peruslain mukaan \(\sum \overline{F}_y=0\). \(\quad \color{red}{(\text{+1p)}}\)
Tästä saadaan molemmille kappaleille pystysuunnassa voimaehdot
\(\overline{N_1}+\overline{G}_1=\overline{0} \\ \overline{N_2}+\overline{G}_2=\overline{0}\), joten
\(N_1 = m_1g \\ N_2 = m_2g\)
Systeemi on kiihtyvässä liikkeessä vaakasuunnassa, joten dynamiikan peruslain mukaan \(\sum \overline{F}_x=(m_1+m_2)\overline{a}\)\(\quad \color{red}{(\text{+1p)}}\)
\(\overline{F}+\overline{F}_{\mu 1} + \overline{F}_{\mu 2} = (m_1+m_2) \overline{a}\)
Kitkavoima määritellään \(F_\mu = \mu N\)
y-suuntaisen voimatarkastelun perusteella kitkavoima voidaan kirjoittaa muotoon \(F_{\mu}=\mu mg\).
\(F-\mu_1 m_1 g - \mu_1 m_2 g = (m_1+m_2)a\) \(\quad \color{red}{(\text{+1p)}}\)
\(a=\dfrac{F-\mu_1m_1g-\mu_1m_2g}{(m_1+m_2)}\)
\(a=\dfrac{100 \text{ N} - 0,20 \cdot 20 \text{ kg } \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}-0,20 \cdot 7,5 \text{ kg} \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{20 \text{ kg} + 7,5 \text{ kg}}\)\(\quad \color{red}{(\text{+1p)}}\)
\(a \approx 1,67 \text{ m/s}^2\)
Vastaus: Systeemin kiihtyvyys on noin \(1,7 \text{ m/s}^2\) ja suunta oikealle.\(\quad \color{red}{(\text{+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: